n后问题-回溯法

问题描述：

在n*n的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按国际象棋的规则，皇后可以与之处在同一行或者同一列或同一斜线上的棋子。

n后问题等价于在n*n格的棋盘上放置n皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列的斜线上。

算法设计：

|i-k|=|j-l|成立，就说明2个皇后在同一条斜线上。可以设计一个place函数，测试是否满足这个条件。

1 当i>n时，算法搜索至叶节点，得到一个新的n皇后互不攻击放置方案，当前已找到的可行方案sum加1.

2 当i<=n时，当前扩展结点Z是解空间中的内部结点。该结点有x[i]=1,2,3....n共n个儿子节点。

对当前扩展结点Z的每个儿子节点，由place检察其可行性。并以深度优先的方式递归地对可行子树，或剪去不可行子树。

算法描述：

#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;
class Queen{friend int nQueen(int);
private:bool Place(int k);void Backtrack(int t);int n,* x;long sum;
};
bool Queen::Place(int k)
{for(int j=1;j<k;j++)if((abs(k-j)==abs(x[j]-x[k]))||(x[j]==x[k]))return false;return true;
}
void Queen::Backtrack(int t)
{if(t>n)sum++;elsefor(int i=1;i<=n;i++){x[t] = i;if(Place(t))Backtrack(t+1);}
}
int nQueen(int n)
{Queen X;X.n = n;X.sum = 0;int *p = new int [n+1];for(int i=0;i<=n;i++)p[i] = 0;X.x = p;X.Backtrack(1);delete [] p;cout<<X.sum<<endl;return X.sum;
}
int main()
{nQueen(4);nQueen(2);nQueen(3);return 0;
}

执行结果：

迭代回溯：

数组x记录了解空间树中从根到当前扩展结点的路径，这些信息已包含了回溯法在回溯时所需要的信息。利用数组x所含的信息，可将上述回溯法表示成非递归形式，进一步省去O(n)递归栈空间。

n后问题的非递归迭代回溯法Backtrack可描述如下：

#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;
class Queen{friend int nQueen(int);
private:bool Place(int k);void Backtrack(void);//.........int n,* x;long sum;
};
bool Queen::Place(int k)
{for(int j=1;j<k;j++)if( ( abs(k-j) == abs(x[j]-x[k]) ) ||( x[j] == x[k] ) )return false;return true;
}
void Queen::Backtrack(void)//......
{x[1] = 0;int k = 1;while(k>0){x[k]+=1;while( (x[k]<=n) && !(Place(k)) )//k还不是最后的叶子结点，且位置没有冲突x[k] += 1;if(x[k] <= n)if(k == n)//k是叶子结点sum++;else{k++;x[k] = 0;}elsek--;}
}
int nQueen(int n)
{Queen X;X.n = n;X.sum = 0;int *p = new int [n+1];for(int i=0;i<=n;i++)p[i] = 0;X.x = p;X.Backtrack();//......
    delete [] p;cout<<X.sum<<endl;return X.sum;
}
int main()
{nQueen(4);nQueen(2);nQueen(3);return 0;
}

执行结果：