OpenCV 【十一】—— 图像去畸变，对极约束之undistort,initUndistortRectifyMap，undistort

目录

0.极限约束，对极校正

1.摄像机成像原理简述

2.成像畸变

2.1. 畸变数学模型

2.2. 公式推导

3.畸变校正

3.1. 理论推导

4. 图像去畸变**

5. 图像尺度缩放与内参的关系**

5.1 undistortPoints()

5.2 initUndistortRectifyMap()

5.3 undistort()

6.UndistortPoints源码

0.极限约束，对极校正

1.摄像机成像原理简述

成像的过程实质上是几个坐标系的转换。首先空间中的一点由 世界坐标系 转换到 摄像机坐标系 ，然后再将其投影到成像平面 ( 图像物理坐标系 ) ，最后再将成像平面上的数据转换到图像平面 ( 图像像素坐标系 ) 。

图像像素坐标系 (uOv坐标系) 下的无畸变坐标 (U, V)，经过 经向畸变 和 切向畸变 后落在了uOv坐标系 的 (Ud, Vd) 上。即就是说，真实图像 imgR 与 畸变图像 imgD 之间的关系为: imgR(U, V) = imgD(Ud, Vd) 。

2.成像畸变

2.1. 畸变数学模型

摄像头成像畸变的数学模型 (符合的对应关系有问题，可能会造成一些干扰，公式主要看后面推导的过程)

2.2. 公式推导

公式推导:

3.畸变校正

3.1. 理论推导

我们已知的是畸变后的图像，要得到没有畸变的图像就要通过畸变模型推导其映射关系。 真实图像 imgR 与 畸变图像 imgD 之间的关系为: imgR(U, V) = imgD(Ud, Vd) 。通过这个关系，找出所有的 imgR(U, V) 。(U, V) 映射到 (Ud, Vd) 中的 (Ud, Vd) 往往不是整数 (U和V是整数，因为它是我们要组成图像的像素坐标位置，以这正常图像的坐标位置去求在畸变图像中的坐标位置，取出对应的像素值，这也是正常图像的像素值)。 但是畸变的像素往往不是整数，所以需要通过插值来进行求解，详细见我之前的博客 [图像]图像缩放算法-双线性内插法 。

4. 图像去畸变**

图像去畸变的思路是：对于目标图像(无畸变)上的每个像素点，转换到normalize平面，再进行畸变并投影到源图像(带畸变), 获取原图对应位置的像素值作为目标图像该点的像素值。

这里容易有一个误解，以为去畸变是对畸变图像进行畸变逆变换得到无畸变图像，实际不是的，畸变模型太复杂了，很难求逆变换，所以是将无畸变图像进行畸变变换到原图像去获得对应像素值。

图像去畸变流程如下:

注意：源相机和目标相机使用的内参矩阵不一定是一样的。如果是调用opencv的undistort()函数，cameraMatrix是源相机的内参矩阵，newCameraMatrix是目标相机的内参矩阵，如果不设置newCameraMatrix，则默认与源相机内参一样，即去畸变后，相机的内参矩阵不变。

5. 图像尺度缩放与内参的关系**

结论：图像分辨率缩放比例k， 相机焦距光心等比例缩放k， 畸变系数不变。

证明：图像缩放k倍后，图像平面所有的像素点坐标变为：

而图像畸变是发生在normalize平面，不管图像分辨率如何改变，normalize平面(只取决于焦距光心)是不变的，所以畸变系数不变。

5.1 undistortPoints()

1.1功能： 从观测点坐标计算理想点坐标。

5.2 initUndistortRectifyMap()

2.1功能 Computes the undistortion and rectification transformation map. 计算去畸变和校正变换映射。

模型见4去畸变

5.3 undistort()

3.1 功能 Transforms an image to compensate for lens distortion. ， 对图像进行变换以补偿镜头失真。

The function transforms an image to compensate radial and tangential lens distortion.

The function is simply a combination of cv::initUndistortRectifyMap (with unity R ) and cv::remap (with bilinear interpolation). See the former function for details of the transformation being performed.

6.UndistortPoints源码

void cvUndistortPointsInternal( const CvMat* _src, CvMat* _dst, const CvMat* _cameraMatrix,const CvMat* _distCoeffs,const CvMat* matR, const CvMat* matP, cv::TermCriteria criteria)
{// 判断迭代条件是否有效CV_Assert(criteria.isValid());// 定义中间变量--A相机内参数组，和matA共享内存；RR-矫正变换数组，和_RR共享内存// k-畸变系数数组double A[3][3], RR[3][3], k[14]={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};CvMat matA=cvMat(3, 3, CV_64F, A), _Dk;CvMat _RR=cvMat(3, 3, CV_64F, RR);cv::Matx33d invMatTilt = cv::Matx33d::eye();cv::Matx33d matTilt = cv::Matx33d::eye();// 检查输入变量是否有效CV_Assert( CV_IS_MAT(_src) && CV_IS_MAT(_dst) &&(_src->rows == 1 || _src->cols == 1) &&(_dst->rows == 1 || _dst->cols == 1) &&_src->cols + _src->rows - 1 == _dst->rows + _dst->cols - 1 &&(CV_MAT_TYPE(_src->type) == CV_32FC2 || CV_MAT_TYPE(_src->type) == CV_64FC2) &&(CV_MAT_TYPE(_dst->type) == CV_32FC2 || CV_MAT_TYPE(_dst->type) == CV_64FC2));CV_Assert( CV_IS_MAT(_cameraMatrix) &&_cameraMatrix->rows == 3 && _cameraMatrix->cols == 3 );cvConvert( _cameraMatrix, &matA );// _cameraMatrix <--> matA / A// 判断输入的畸变系数是否有效if( _distCoeffs ){CV_Assert( CV_IS_MAT(_distCoeffs) &&(_distCoeffs->rows == 1 || _distCoeffs->cols == 1) &&(_distCoeffs->rows*_distCoeffs->cols == 4 ||_distCoeffs->rows*_distCoeffs->cols == 5 ||_distCoeffs->rows*_distCoeffs->cols == 8 ||_distCoeffs->rows*_distCoeffs->cols == 12 ||_distCoeffs->rows*_distCoeffs->cols == 14));_Dk = cvMat( _distCoeffs->rows, _distCoeffs->cols,CV_MAKETYPE(CV_64F,CV_MAT_CN(_distCoeffs->type)), k);// _Dk和数组k共享内存指针cvConvert( _distCoeffs, &_Dk );if (k[12] != 0 || k[13] != 0){cv::detail::computeTiltProjectionMatrix<double>(k[12], k[13], NULL, NULL, NULL, &invMatTilt);cv::detail::computeTiltProjectionMatrix<double>(k[12], k[13], &matTilt, NULL, NULL);}}if( matR ){CV_Assert( CV_IS_MAT(matR) && matR->rows == 3 && matR->cols == 3 );cvConvert( matR, &_RR );// matR和_RR共享内存指针}elsecvSetIdentity(&_RR);if( matP ){double PP[3][3];CvMat _P3x3, _PP=cvMat(3, 3, CV_64F, PP);CV_Assert( CV_IS_MAT(matP) && matP->rows == 3 && (matP->cols == 3 || matP->cols == 4));cvConvert( cvGetCols(matP, &_P3x3, 0, 3), &_PP );// _PP和数组PP共享内存指针cvMatMul( &_PP, &_RR, &_RR );// _RR=_PP*_RR 放在一起计算比较高效}const CvPoint2D32f* srcf = (const CvPoint2D32f*)_src->data.ptr;const CvPoint2D64f* srcd = (const CvPoint2D64f*)_src->data.ptr;CvPoint2D32f* dstf = (CvPoint2D32f*)_dst->data.ptr;CvPoint2D64f* dstd = (CvPoint2D64f*)_dst->data.ptr;int stype = CV_MAT_TYPE(_src->type);int dtype = CV_MAT_TYPE(_dst->type);int sstep = _src->rows == 1 ? 1 : _src->step/CV_ELEM_SIZE(stype);int dstep = _dst->rows == 1 ? 1 : _dst->step/CV_ELEM_SIZE(dtype);double fx = A[0][0];double fy = A[1][1];double ifx = 1./fx;double ify = 1./fy;double cx = A[0][2];double cy = A[1][2];int n = _src->rows + _src->cols - 1;// 开始对所有点开始遍历for( int i = 0; i < n; i++ ){double x, y, x0 = 0, y0 = 0, u, v;if( stype == CV_32FC2 ){x = srcf[i*sstep].x;y = srcf[i*sstep].y;}else{x = srcd[i*sstep].x;y = srcd[i*sstep].y;}u = x; v = y;x = (x - cx)*ifx;//转换到归一化图像坐标系（含有畸变）y = (y - cy)*ify;//进行畸变矫正if( _distCoeffs ) {// compensate tilt distortion--该部分系数用来弥补沙氏镜头畸变？？// 如果不懂也没管，因为普通镜头中没有这些畸变系数cv::Vec3d vecUntilt = invMatTilt * cv::Vec3d(x, y, 1);double invProj = vecUntilt(2) ? 1./vecUntilt(2) : 1;x0 = x = invProj * vecUntilt(0);y0 = y = invProj * vecUntilt(1);double error = std::numeric_limits<double>::max();// error设定为系统最大值// compensate distortion iteratively// 迭代去除镜头畸变// 迭代公式    x′= (x−2p1 xy−p2 (r^2 + 2x^2))∕( 1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)//             y′= (y−2p2 xy−p1 (r^2 + 2y^2))∕( 1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)for( int j = 0; ; j++ ){if ((criteria.type & cv::TermCriteria::COUNT) && j >= criteria.maxCount)// 迭代最大次数为5次break;if ((criteria.type & cv::TermCriteria::EPS) && error < criteria.epsilon)// 迭代误差阈值为0.01break;double r2 = x*x + y*y;double icdist = (1 + ((k[7]*r2 + k[6])*r2 + k[5])*r2)/(1 + ((k[4]*r2 + k[1])*r2 + k[0])*r2);double deltaX = 2*k[2]*x*y + k[3]*(r2 + 2*x*x)+ k[8]*r2+k[9]*r2*r2;double deltaY = k[2]*(r2 + 2*y*y) + 2*k[3]*x*y+ k[10]*r2+k[11]*r2*r2;x = (x0 - deltaX)*icdist;y = (y0 - deltaY)*icdist;// 对当前迭代的坐标加畸变，计算误差error用于判断迭代条件if(criteria.type & cv::TermCriteria::EPS){double r4, r6, a1, a2, a3, cdist, icdist2;double xd, yd, xd0, yd0;cv::Vec3d vecTilt;r2 = x*x + y*y;r4 = r2*r2;r6 = r4*r2;a1 = 2*x*y;a2 = r2 + 2*x*x;a3 = r2 + 2*y*y;cdist = 1 + k[0]*r2 + k[1]*r4 + k[4]*r6;icdist2 = 1./(1 + k[5]*r2 + k[6]*r4 + k[7]*r6);xd0 = x*cdist*icdist2 + k[2]*a1 + k[3]*a2 + k[8]*r2+k[9]*r4;yd0 = y*cdist*icdist2 + k[2]*a3 + k[3]*a1 + k[10]*r2+k[11]*r4;vecTilt = matTilt*cv::Vec3d(xd0, yd0, 1);invProj = vecTilt(2) ? 1./vecTilt(2) : 1;xd = invProj * vecTilt(0);yd = invProj * vecTilt(1);double x_proj = xd*fx + cx;double y_proj = yd*fy + cy;error = sqrt( pow(x_proj - u, 2) + pow(y_proj - v, 2) );}}}// 将坐标从归一化图像坐标系转换到成像平面坐标系double xx = RR[0][0]*x + RR[0][1]*y + RR[0][2];double yy = RR[1][0]*x + RR[1][1]*y + RR[1][2];double ww = 1./(RR[2][0]*x + RR[2][1]*y + RR[2][2]);x = xx*ww;y = yy*ww;if( dtype == CV_32FC2 ){dstf[i*dstep].x = (float)x;dstf[i*dstep].y = (float)y;}else{dstd[i*dstep].x = x;dstd[i*dstep].y = y;}}
}

简化版ubdistortpoint

//for (size_t u = 0; u < ir_image_height; u++)//{//    for (size_t v = 0; v < ir_image_width; v++)//    {//(u,v) undistort//        float x = (u - cx) * fx_inv;//        float y = (v - cy) * fy_inv;
​//        float r2 = (x*x + y*y);//        float r = std::sqrt(r2);//        float r4 = r2 * r2;//        float x_distort = x*(1 + k1*r2 + k2 * r4) + 2 * p1*x*y + p2*(r2 + 2 * x*x);//        float y_distort = y*(1 + k1*r2 + k2 * r4) + p1*(r2 + 2 * y*y) + 2 * p2*x*y;
​//        float X = ir_depth_rx.at<float>(0, 0) * x_distort + ir_depth_rx.at<float>(0, 1)*y_distort +ir_depth_rx.at<float>(0, 2) * 1;//        float Y = ir_depth_rx.at<float>(1, 0) * x_distort + ir_depth_rx.at<float>(1, 1)*y_distort +ir_depth_rx.at<float>(1, 2) * 1;//        float W = ir_depth_rx.at<float>(2, 0) * x_distort + ir_depth_rx.at<float>(2, 1)*y_distort +ir_depth_rx.at<float>(2, 2) * 1;//        //        float x_camera = X / W;//        float y_camera = Y / W;//        //        float u_distort = fx*x_camera + cx;//        float v_distort = fy*y_camera + cy;
​//        calib_params->updated_ir_depth_forward_map_x->operator()(v, u) = u_distort;//        calib_params->updated_ir_depth_forward_map_y->operator()(v, u) = v_distort;
​//    }//}