12 数组与稀疏矩阵

知识结构：

1. 数组

1.1 数组的定义

数组是具有一定顺序关系的若干对象组成的集合，组成数组的对象称为数组元素。

例如：

• 向量对应一维数组

$$A=(a_0,a_1,\cdots ,a_{n-1})$$

• 矩阵对应二维数组

$$A_{m\times n}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{00}& a_{01}& \cdots & a_{0n-1}\\ a_{10}& a_{11}& \cdots & a_{1n-1}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m-10}& a_{m-11}& \cdots & a_{m-1n-1}\end{array}\right]$$

数组名表示群体的共性，即具有同一种数据类型；

下标表示个体的个性，即各自占有独立的单元。

1.2 数组的存储

（1）$n$维数组的定义

下标由$n$个数组成的数组称为$n$维数组。

例如：

//一维数组（线）
int[] a = new int[10]; //二维数组 （面）
int[ , ] a = new int[2,3];//三维数组 （体），类比：书（体）【2.页码 3.行 4.列】 
int[ , , ] a = new int[2,3,4];

（2）数组存储的特点

• 数组元素在内存中按顺序连续存储。
• 数组的存储分配按照行（C、C++、C#等）或列（Forturn等）进行。
• 数组名表示该数组的首地址，是常量。

（3）常用数组的存储

一维数组a[n]

各元素按下角标依次存放。

例：int[] a = new int[5];

二维数组a[m,n]

例：int[ , ] a = new int[2,3];

三维数组a[m,n,l]

第一维下标变化最慢，第三维（最后一维）下标变化最快。

例：int[ , , ] a = new int[2,3,4];

注意：

C#中int[,]与int[][]定义数组的区别

• int[,] 行数，列数确定

static void Main(string[] args)
{int[,] Arr = new int[2, 5] { { 1, 2, 3, 5, 6 }, { 1, 2, 3, 4, 5 } };for (int i = 0; i < 2; ++i){for (int j = 0; j < 5; ++j){Console.Write(Convert.ToString(Arr[i, j]) + " ");}Console.WriteLine();}// 1 2 3 5 6// 1 2 3 4 5
}

• int[][] 行数确定，列数不定

static void Main(string[] args)
{int[][] Arr = new int[3][];  //表示含有三个一维数组的数组Arr[0] = new int[5] { 1, 2, 3, 4, 5 };Arr[1] = new int[2] { 0, 1 };Arr[2] = new int[0] { };for (int i = 0; i < Arr.Length; ++i){foreach (int j in Arr[i]){Console.Write(j + " ");}Console.WriteLine();}// 1 2 3 4 5// 0 1// 
}

1.3 数组的分类

数组可分为静态数组和动态数组两类。

（1）静态数组

在程序编译时分配空间的数组。

例：

//静态数组（声明之后数组长度不可改变）
int[] a = new int[10];

（2）动态数组

在程序运行时分配空间的数组（声明之后数组长度可根据问题而调整）。

using System;namespace LinearStruct
{/// <summary>/// 动态数组的抽象数据类型实现/// </summary>/// <typeparam name="T">动态数组中元素的类型</typeparam>public class DArray<T> where T : IComparable<T>{private T[] _array;/// <summary>/// 获取动态数组的当前长度/// </summary>public int Size { get; private set; }/// <summary>/// 初始化DArray类的新实例/// </summary>/// <param name="size">动态数组的初始长度</param>public DArray(int size){if (size <= 0)throw new ArgumentOutOfRangeException();Size = size;_array = new T[Size];}/// <summary>/// 改变动态数组的长度/// </summary>/// <param name="newSize">动态数组的新长度</param>public void ReSize(int newSize){if (newSize <= 0)throw new ArgumentOutOfRangeException();if (Size != newSize){T[] newArray = new T[newSize];int n = newSize < Size ? newSize : Size;for (int i = 0; i < n; i++){newArray[i] = _array[i];}_array = newArray;Size = newSize;}}/// <summary>/// 获取或设置指定索引处的元素/// </summary>/// <param name="index">要获得或设置的元素从零开始的索引</param>/// <returns>指定索引处的元素</returns>public T this[int index]{get{if (index < 0 || index > Size - 1)throw new IndexOutOfRangeException();return _array[index];}set{if (index < 0 || index > Size - 1)throw new IndexOutOfRangeException();_array[index] = value;}}}
}

1.4 动态数组的应用

编写一段代码，要求输入一个整数N，用动态数组A来存放2~N之间所有5或7的倍数，输出该数组。

例如：N=100

则输出：5 7 10 14 15 20 21 25 28 30 35 40 42 45 49 50 55 56 60 63 65 70 75 77 80 84 85 90 91 95 98 100

参考界面如下：

static void Main(string[] args)
{Console.WriteLine("N=");string s = Console.ReadLine();int n;if (int.TryParse(s, out n)){DArray<int> arr = new DArray<int>(10);int j = 0;for (int i = 2; i <= n; i++){if (i % 5 == 0 || i % 7 == 0){if (j == arr.Size)arr.ReSize(arr.Size + 10);arr[j] = i;j++;}}for (int i = 0; i < j; i++){Console.Write(arr[i] + " ");}}
}

2. 稀疏矩阵

2.1 稀疏矩阵的定义与操作

（1）稀疏矩阵的定义

若矩阵$A$中非零元素的个数远远小于零元素的个数，则称$A$为稀疏矩阵。

例：

$$A=\left[\begin{array}{cccc}50& 0& 0& 0\\ 10& 0& 20& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ -30& 0& -60& 5\end{array}\right]$$

若用二维数组存储，则太浪费存储空间。

（2）稀疏矩阵的操作

• 获取矩阵的行数
• 获取矩阵的列数
• 获取或设置指定索引处的元素
• 矩阵加法
• 矩阵转置
• 矩阵乘法

namespace LinearStruct
{/// <summary>/// 矩阵的抽象数据类型/// </summary>public interface IMatrix<T>{/// <summary>/// 获取矩阵的行数/// </summary>int Rows { get; }/// <summary>/// 获取矩阵的列数/// </summary>int Cols { get; }/// <summary>/// 获取或设置指定索引处的元素/// </summary>/// <param name="i">要获取或设置的元素从零开始的行索引</param>/// <param name="j">要获取或设置的元素从零开始的列索引</param>/// <returns></returns>T this[int i, int j] { get; set; }/// <summary>/// 矩阵加法/// </summary>/// <param name="b">与之相加的另一个矩阵</param>/// <returns>相加后的新矩阵</returns>IMatrix<T> Add(IMatrix<T> b);/// <summary>/// 矩阵转置/// </summary>/// <returns>转置后的新矩阵</returns>IMatrix<T> Transpose();/// <summary>/// 矩阵乘法/// </summary>/// <param name="b">与之右乘的另一个矩阵</param>/// <returns>相乘后的新矩阵</returns>IMatrix<T> Multiply(IMatrix<T> b);}
}

2.2 稀疏矩阵的存储与实现

可以利用（Row，Col，Value）的方式存储和定位稀疏矩阵中的非零元素，这种存储稀疏矩阵结点的方式称为三元组（Triple）。

利用顺序的方式进行存储：

利用链式的方式进行存储：

（1）对结点的封装

using System;namespace LinearStruct
{/// <summary>/// 稀疏矩阵结点/// </summary>public class Triple : IComparable<Triple>{/// <summary>/// 获取结点所在矩阵中的行索引/// </summary>public int Row { get; }/// <summary>/// 获取结点所在矩阵中的列索引/// </summary>public int Col { get; }/// <summary>/// 获取或设置结点在矩阵中的值/// </summary>public double Value { get; set; }/// <summary>/// 初始化Triple类的新实例/// </summary>/// <param name="i">结点所在矩阵中的行索引</param>/// <param name="j">结点所在矩阵中的列索引</param>/// <param name="value">结点在矩阵中的值</param>public Triple(int i, int j, double value){if (i < 0 || j < 0)throw new Exception("数组元素位置无效.");Row = i;Col = j;Value = value;}/// <summary>/// Triple类的输出字符串/// </summary>/// <returns>Triple类的输出字符串</returns>public override string ToString(){return string.Format("({0},{1},{2})", Row, Col, Value);}/// <summary>/// 比较三元组中数据的大小/// </summary>/// <param name="other">被比较的三元组</param>/// <returns></returns>public int CompareTo(Triple other){if (Value < other.Value) return -1;if (Value > other.Value) return 1;return 0;}}
}

（2）对稀疏矩阵的封装

using System;namespace LinearStruct
{/// <summary>/// 矩阵抽象数据类型的实现--稀疏矩阵/// </summary>public class SparseMatrix : IMatrix<double>{private readonly DLinkList<Triple> _lst;/// <summary>/// 获取稀疏矩阵的行数/// </summary>public int Rows { get; }/// <summary>/// 获取稀疏矩阵的列数/// </summary>public int Cols { get; }/// <summary>/// 初始化SparseMatrix类的新实例/// </summary>/// <param name="rows">稀疏矩阵的行数</param>/// <param name="cols">稀疏矩阵的列数</param>public SparseMatrix(int rows, int cols){if (rows <= 0 || cols <= 0)throw new ArgumentOutOfRangeException();Rows = rows;Cols = cols;_lst = new DLinkList<Triple>();}private DNode<Triple> GetIndex(int i, int j){DNode<Triple> temp = _lst.PHead;while (temp != null){if (temp.Data.Row == i && temp.Data.Col == j)break;temp = temp.Next;}return temp;}private void RemoveNode(DNode<Triple> node){if (node.Next == null){_lst.Remove(_lst.Length - 1);}else if (node.Prior == null){_lst.Remove(0);}else{node.Prior.Next = node.Next;node.Next.Prior = node.Prior;}}/// <summary>/// 获取或设置指定索引处的元素/// </summary>/// <param name="i">要获取或设置的元素从零开始的行索引</param>/// <param name="j">要获取或设置的元素从零开始的列索引</param>/// <returns></returns>public double this[int i, int j]{get{if (i < 0 || i > Rows - 1 || j < 0 || j > Cols - 1)throw new IndexOutOfRangeException();DNode<Triple> node = GetIndex(i, j);return node == null ? 0.0 : node.Data.Value;}set{if (i < 0 || i > Rows - 1 || j < 0 || j > Cols - 1)throw new IndexOutOfRangeException();DNode<Triple> node = GetIndex(i, j);if (node == null){if (value != 0.0){_lst.InsertAtRear(new Triple(i, j, value));}}else{if (value != 0.0){node.Data.Value = value;}else{RemoveNode(node);}}}}/// <summary>/// 矩阵加法/// </summary>/// <param name="b">与之相加的另一个矩阵</param>/// <returns>相加后的新矩阵</returns>public SparseMatrix Add(SparseMatrix b){if (b == null)throw new ArgumentNullException();if (b.Rows != Rows || b.Cols != Cols)throw new Exception("两矩阵不能相加.");SparseMatrix temp = new SparseMatrix(Rows, Cols);for (int i = 0; i < Rows; i++)for (int j = 0; j < Cols; j++)temp[i, j] = this[i, j] + b[i, j];return temp;}/// <summary>/// 矩阵转置/// </summary>/// <returns>转置后的新矩阵</returns>public SparseMatrix Transpose(){SparseMatrix temp = new SparseMatrix(Cols, Rows);for (int i = 0; i < temp.Rows; i++)for (int j = 0; j < temp.Cols; j++)temp[i, j] = this[j, i];return temp;}/// <summary>/// 矩阵乘法/// </summary>/// <param name="b">与之右乘的另一个矩阵</param>/// <returns>相乘后的新矩阵</returns>public SparseMatrix Multiply(SparseMatrix b){if (b == null)throw new ArgumentNullException();if (Cols != b.Rows)throw new Exception("两矩阵不能相乘.");SparseMatrix temp = new SparseMatrix(Rows, b.Cols);for (int i = 0; i < Rows; i++){for (int j = 0; j < b.Cols; j++){double value = 0.0;for (int k = 0; k < Cols; k++)value += this[i, k] * b[k, j];temp[i, j] = value;}}return temp;}/// <summary>/// 矩阵加法运算/// </summary>/// <param name="a">第一个矩阵</param>/// <param name="b">第二个矩阵</param>/// <returns>相加后的新矩阵</returns>public static SparseMatrix operator +(SparseMatrix a, SparseMatrix b){if (a == null || b == null)throw new ArgumentNullException();return a.Add(b);}/// <summary>/// 矩阵乘法运算/// </summary>/// <param name="a">左边的矩阵</param>/// <param name="b">右边的矩阵</param>/// <returns>相乘后的新矩阵</returns>public static SparseMatrix operator *(SparseMatrix a, SparseMatrix b){if (a == null || b == null)throw new ArgumentNullException();return a.Multiply(b);}/// <summary>/// SparseMatrix类的输出字符串/// </summary>/// <returns>SparseMatrix类的输出字符串</returns>public override string ToString(){string str = string.Empty;DNode<Triple> temp = _lst.PHead;while (temp != null){str += temp.Data + "\n";temp = temp.Next;}return str;}IMatrix<double> IMatrix<double>.Add(IMatrix<double> b){return Add((SparseMatrix)b);}IMatrix<double> IMatrix<double>.Transpose(){return Transpose();}IMatrix<double> IMatrix<double>.Multiply(IMatrix<double> b){return Multiply((SparseMatrix)b);}}
}

举例：

static void Main(string[] args)
{IMatrix<double> a = new SparseMatrix(2, 3);IMatrix<double> b = new SparseMatrix(3, 2);SparseMatrix c = new SparseMatrix(2, 2);a[0, 2] = 1;a[1, 0] = 1;b[1, 1] = 4;b[2, 0] = 1;c[0, 1] = 1;c[1, 0] = 1;SparseMatrix d = (SparseMatrix)a * (SparseMatrix)b + c;IMatrix<double> e = a.Multiply(b).Add(c);Console.WriteLine("D:\n{0}", d);Console.WriteLine("E:\n{0}", e);// D:// (0, 0, 1)// (0, 1, 1)// (1, 0, 1)// E:// (0, 0, 1)// (0, 1, 1)// (1, 0, 1)
}