图论-最短路径--3、SPFA算法O(kE)

SPFA算法O(kE)

主要思想是：

    初始时将起点加入队列。每次从队列中取出一个元素，并对所有与它相邻的点进行修改，若某个相邻的点修改成功，则将其入队。直到队列为空时算法结束。

    这个算法，简单的说就是队列优化的bellman-ford，利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法。

SPFA 在形式上和广度优先搜索非常类似，不同的是广度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是说一个点修改过其它的点之后，过了一段时间可能会获得更短的路径，于是再次用来修改其它的点，这样反复进行下去。

算法时间复杂度：O(kE)，E是边数。K是常数，平均值为2。

算法实现：

    dis[i]记录从起点s到i的最短路径，w[i][j]记录连接i，j的边的长度。pre[v]记录前趋。

    team[1..n]为队列，头指针head，尾指针tail。

    布尔数组exist[1..n]记录一个点是否现在存在在队列中。

    初始化：d[s]=0,d[v]=∞（v≠s），memset(exist,false,sizeof(exist));

    起点入队team[1]=s; head=0; tail=1;exist[s]=true;

    do

    {1、头指针向下移一位，取出指向的点u。

    2、exist[u]=false;已被取出了队列

    3、for与u相连的所有点v  //注意不要去枚举所有点，用数组模拟邻接表存储

       if (d[v]>d[u]+w[u][v])

         {   d[v]=d[u]+w[u][v];

             pre[v]=u;

             if (!exist[v]) //队列中不存在v点，v入队。

               {         //尾指针下移一位，v入队;

                    exist[v]=true;

                 }

          ｝

    }

    while (head < tail);

循环队列：

采用循环队列能够降低队列大小，队列长度只需开到2*n+5即可。例题中的参考程序使用了循环队列。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 2010
#include<cstring>
using namespace std;
int dis[N];  //起点到其他点的最短路径 
int pre[N];  //前驱 
int map[N][N];  //两点之间距离 
int ans[N];  //输出 
int team[N];  //队列 
bool pd[N];  //判断是否在队列中 
int head,tail,n,m,from,to;  
void work(int a)
{
    team[tail++]=a;
    pre[a]=a;
    dis[a]=0;
    pd[a]=1;
    while(head<tail)
    {
        int d=team[head];  //取出队首元素
        for(int i=1;i<=n;++i)
            if(map[d][i]!=0&&dis[i]>dis[d]+map[d][i])
            {
                dis[i]=dis[d]+map[d][i];
                pre[i]=d;
                if(!pd[i])
                {
                    team[++tail]=i;
                    pd[i]=1;
                }
            }
        head++;
        pd[d]=0;
    }
    printf("%d\n",dis[to]);    
}
void print(int a,int b)
{
    ans[1]=to;
    int top=1;
    int t=b;
    while(t!=from)
    {
        t=pre[t];
        ans[++top]=t;
    }
    for(int i=top;i>=2;--i)
        printf("%d->",ans[i]);
    printf("%d",ans[1]);
}
int main()
{
    memset(dis,0x7f,sizeof(dis));  //初始化 
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int x,y,q;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&q);
        map[x][y]=q;  //有向图 
    }
    cin>>from>>to;  //需要计算的两点 
    work(from);
    print(from,to);
    return 0;
}