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随机变量的数字特征（数学期望，方差，协方差与相关系数）

编程日记 2024-10-19 10:40:00

戳这里：概率论思维导图！！！

数学期望

离散型随机变量的数学期望

$E(X)=\sum_{i}x_{i}p_{i}$ （这里要求级数 $\sum_{i}x_{i}p_{i}$ 绝对收敛，若 $\sum_{i}x_{i}p_{i}$ 不绝对收敛，则E(X)不存在）

如果有 $\sum_{i}g(x_{i})p_{i}$ 绝对收敛，则有

$E(g(X))=\sum_{i}g(x_{i})p_{i}$ ，其中 $p_{i}=P\begin{Bmatrix} X=x_{i} \end{Bmatrix},i=1,2,3...$

连续型随机变量的数学期望

$E(X)=\int_{-\infty }^{+\infty}xf(x,y)dx$ （这里要求 $\int_{-\infty }^{+\infty}xf(x,y)dx$ 绝对收敛）

对于连续型随机变量的函数g(X)，有如下结论：

若积分 $\int_{-\infty }^{+\infty}\begin{vmatrix} g(x) \end{vmatrix}f(x,y)dx$ 收敛，则

$E(g(X))=\int_{-\infty }^{+\infty}g(x)f(x)dx$

二维随机变量的数学期望

（1）设(X,Y)是离散型随机变量，联合分布率为： $P\begin{Bmatrix} X=x_{i},Y=y_{i} \end{Bmatrix}=p_{ij}(i,j=1,2,3...)$

若 $\sum_{i}\sum_{j}g(x_{i},y_{j})p_{ij}$ 绝对收敛，则Z=g(X,Y)的数学期望存在，且有

$E(Z)=E(g(X,Y))=\sum_{i}\sum_{j}g(x_{i},y_{j})p_{ij}$

（2）设(X,Y)为连续型随机变量，联合概率密度函数为f(x,y)，若 $\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy$ 绝对收敛，则Z=g(X,Y)的数学期望存在，且有

$E(Z)=E(g(X,Y))=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy$

特别，

$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty}x\begin{bmatrix} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy \end{bmatrix}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_{X}(x)dx$

$E(Y)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}yf(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty}y\begin{bmatrix} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx \end{bmatrix}dy=\int_{-\infty}^{+\infty}yf_{Y}(y)dy$

数学期望的性质

（1）设C为常数，则E(C)=C

（2）设C为常数，则E(CX)=CE(X)

（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)

推论 $E(\sum_{i=1}^{n}X_{i})=\sum_{i=1}^{n}E(X_{i})$

（4）设随机变量X和Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)

方差

设X为离散型随机变量，分布律为 $P\begin{Bmatrix} X=x_{i} \end{Bmatrix}=p_{i},i=1,2,...$ ,则

$D(X)=\sum_{i}(x_{i}-E(X))^{2}p_{i}$

设X为连续型随机变量，概率密度函数为f(x)，则

$D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-E(X))^{2}f(x)dx$

方差的性质

（1） $D(X)=E(X^{2})-E^{2}(X)$

（2）设C为常数，则D(C)=0

（3）设C为常数，则 $D(CX)=C^{2}D(X)$

（4）设X，Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)

推论:设 $X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}$ 相互独立，则

$D(\sum_{i=1}^{n}X_{i})=\sum^{n}_{i=1}D(X_{i})$

协方差和相关系数

协方差（刻画X与Y之间的相互关系）： $Cov(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))$

相关系数（标准协方差） $\rho _{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$

E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)

Cov(X,X)=D(X)

若Cov(X,Y)=0，则称X与Y不相关。

当X与Y相互独立时，X与Y不相关。但是，当X与Y不相关时，未必有X与Y相互独立。

协方差与相关系数的性质：

（1）Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

（2）Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)

（3） $Cov(X_{1}+X_{2},Y)=Cov(X_{1},Y)+Cov(X_{2},Y)$

（4） $\begin{vmatrix} \rho_{XY} \end{vmatrix}\leqslant 1$

https://www.dkcj.cn/info/23713.html

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