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技术图文：Matlab VS. Numpy 矩阵基本运算

编程日记 2024-09-24 21:00:00

背景

前段时间在知识星球上立了一个Flag，至少写10篇关于 Python，Matlab 和 C# 对比的总结。

这是第 3 篇，对比 Matlab 与 Numpy 在矩阵基本运算方面的区别与联系。

虽然 Numpy 定义了 matrix 类型，使用该 matrix 类型创建的是矩阵对象。但是由于 NumPy 中同时存在 ndarray 和 matrix 对象，因此用户很容易将两者弄混。这有违 Python 的“显式优于隐式”的原则，因此官方并不推荐在程序中使用 matrix。在这里，我们仍然用 ndarray 来介绍。

1. 矩阵的转置

矩阵的行和列对换称为矩阵的转置。

【例1】求矩阵 $A$ 的转置矩阵。

$\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&10\\ \end{bmatrix}$

Matlab：

对矩阵的转置运算，只需要在矩阵的右上角加上单引号即可。

>> A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];
>> disp(A')1     4     72     5     83     6     9

Numpy：

import numpy as npA = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
print(np.transpose(A))
# [[1 4 7]
#  [2 5 8]
#  [3 6 9]]print(A.T)
# [[1 4 7]
#  [2 5 8]
#  [3 6 9]]

2. 矩阵的加法与减法

两个同型矩阵（行数和列数相同的矩阵）可以做加法和减法，返回一个同样行数和列数的矩阵，其中每个元素为原先两个矩阵对应元素之和，或两个矩阵对应元素之差。若行数和列数不同的两个矩阵做加法或减法，则显示错误。

【例1】已知矩阵 $A$ 与 $B$ ，求矩阵 $A - B$ ， $A + B$ 。

$\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&10\\ \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 1&3&5\\ 7&9&11\\ 13&15&16\\ \end{bmatrix}$

Matlab：

矩阵的书写方法是：数与数之间用逗号或空格分开，换行时用分号分开，矩阵的开始和终止用方括号。

>> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,10];
>> B=[1,3,5;7,9,11;13,15,16];
>> disp(A+B)2     5     811    14    1720    23    26>> disp(A-B)0    -1    -2-3    -4    -5-6    -7    -6

Numpy：

import numpy as npA = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 10]])
B = np.array([[1, 3, 5], [7, 9, 11], [13, 15, 16]])
print(A + B)
# [[ 2  5  8]
#  [11 14 17]
#  [20 23 26]]print(A - B)
# [[ 0 -1 -2]
#  [-3 -4 -5]
#  [-6 -7 -6]]

3. 矩阵的乘法

若矩阵 $A=(aij)m×pA=(a_{ij})_{m\times p}$ ， $B=(bij)p×nB=(b_{ij})_{p\times n}$ ，则矩阵的乘积 $C=AB=(c_{ij})_{m×n}$ 。

$cij=∑k=1paikbkj,i=1,…,m;j=1,…,n;k=1,…,pc_{ij}=\sum^{p}_{k=1}{a_{ik}b_{kj}}, i=1,\dots,m;j=1,\dots,n;k=1,\dots,p$

必须注意，矩阵相乘，矩阵 $A$ 的列数应等于矩阵 $B$ 的行数，否则将显示出错。

【例1】已知3阶方阵 $A$ 和 $B$ ，求 $A×BA\times B$ 和 $B×AB\times A$ 。

$\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&10\\ \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 1&3&5\\ 7&9&11\\ 13&15&17\\ \end{bmatrix}$

Matlab：

>> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,10];
>> B=[1,3,5;7,9,11;13,15,17];
>> disp(A*B)54    66    78117   147   177193   243   293>> disp(B*A)48    57    71120   147   185192   237   299

Numpy：

import numpy as npA = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 10]])
B = np.array([[1, 3, 5], [7, 9, 11], [13, 15, 17]])
print(np.dot(A, B))
# [[ 54  66  78]
#  [117 147 177]
#  [193 243 293]]print(np.dot(B, A))
# [[ 48  57  71]
#  [120 147 185]
#  [192 237 299]]

4. 矩阵的左除

矩阵的左除，常用于解线性方程组， $A X = B$ 。这时 $X=A^{-1}B$ ，即矩阵 $A$ 左除矩阵 $B$ 。

【例1】已知矩阵 $A$ 和 $C$ ，求矩阵 $A$ 左除 $C$ 。

$\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&10\\ \end{bmatrix} , C = \begin{bmatrix} 54&66&75\\ 117&147&171\\ 193&243&283\\ \end{bmatrix}$

Matlab：

矩阵的左除为矩阵乘法的逆运算，若 $A B = C$ 则 $B=A−1C=A∖CB=A^{-1} C=A \setminus C$ ，即 $B$ 等于 $A$ 左除 $C$ 。注意矩阵左除用反斜杠表示。

>> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,10];
>> C=[54,66,75;117,147,171;193,243,283];
>> disp(A\C)1.0000    3.0000    5.00007.0000    9.0000   11.000013.0000   15.0000   16.0000>> disp(inv(A)*C)1.0000    3.0000    5.00007.0000    9.0000   11.000013.0000   15.0000   16.0000

Numpy：

import numpy as npA = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 10]])
C = np.array([[54, 66, 75],[117, 147, 171],[193, 243, 283]])
invA = np.linalg.inv(A)
print(np.dot(invA, C))
# [[ 1.  3.  5.]
#  [ 7.  9. 11.]
#  [13. 15. 16.]]print(np.linalg.solve(A, C))
# [[ 1.  3.  5.]
#  [ 7.  9. 11.]
#  [13. 15. 16.]]

5. 矩阵的右除

矩阵的右除，常用于解线性方程组， $X B = C$ 。这时 $X=CB^{-1}$ ，即矩阵 $C$ 右除矩阵 $B$ 。

【例1】已知矩阵 $B$ 和 $C$ ，求矩阵 $C$ 右除 $B$ 。

$\begin{bmatrix} 1&3&5\\ 7&9&11\\ 13&15&16\\ \end{bmatrix} , C = \begin{bmatrix} 54&66&75\\ 117&147&171\\ 193&243&283\\ \end{bmatrix}$

Matlab：

矩阵的右除也为矩阵乘法的逆运算，但所求解矩阵的位置不同，若 $A B = C$ ，则 $A=CB^{-1}=C/B$ ，即矩阵 $A$ 等于 $C$ 右除 $B$ ，注意右除用斜杠。

>> B=[1,3,5;7,9,11;13,15,16];
>> C=[54,66,75;117,147,171;193,243,283];
>> disp(C/B)1.0000    2.0000    3.00004.0000    5.0000    6.00007.0000    8.0000   10.0000>> disp(C*inv(B))1.0000    2.0000    3.00004.0000    5.0000    6.00007.0000    8.0000   10.0000

Numpy：

import numpy as npB = np.array([[1, 3, 5], [7, 9, 11], [13, 15, 16]])
C = np.array([[54, 66, 75],[117, 147, 171],[193, 243, 283]])
invB = np.linalg.inv(B)
print(np.dot(C, invB))
# [[ 1.  2.  3.]
#  [ 4.  5.  6.]
#  [ 7.  8. 10.]]print(np.linalg.solve(B.T, C.T).T)
# [[ 1.  2.  3.]
#  [ 4.  5.  6.]
#  [ 7.  8. 10.]]

总结

以上总结的不一定全，但先有个框架等后面在实践的过程中慢慢补充。今天就到这里吧。See You！

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技术图文：Matlab VS. Numpy 矩阵基本运算

背景

1. 矩阵的转置

2. 矩阵的加法与减法

3. 矩阵的乘法

4. 矩阵的左除

5. 矩阵的右除

总结

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