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hung-yi lee_p5-7_Gradient Descent(梯度下降)

编程日记 2024-09-13 04:10:00

原视频地址 https://www.bilibili.com/video/BV1JE411g7XF?p=5

文章目录

- 梯度下降是如何优化函数的
- tips
- - 1. 使用Adagrad
  - 2. Stochastic Gradient Descent
  - 3. Feature Scaling
- 梯度下降理论基础
- 梯度下降的局限性

梯度下降是如何优化函数的

前情回顾：损失函数是用来衡量找到的函数对应的那一组参数的好坏的。
在这里插入图片描述
theta是一组参数，上标表示参数是第几组的，下标表示参数是组中的第几个。
上图是将梯度分成两个偏导数表示，下图是直接使用梯度。
把梯度看成是损失函数等高线的法线方向，现在每得到一个函数，算出梯度，然后按梯度相反方向走。
在这里插入图片描述

tips

1. 使用Adagrad

应当小心调节学习率，原因如下图所示：
学习率太小：过慢，效率低
学习率太大：找不到最小的损失函数值
学习率刚刚好 Just make
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原则：
①学习率逐渐减小，离目标越近走得越慢。
②给不同的参数以不同的学习率。（参数独立）
例：Adagrad方法
把每一个参数的学习率都除以之前导数的均方根（均方根：将所有值平方求和，求其均值，再开平方）
使用Adagrad之前，学习率这样更改
在这里插入图片描述
使用Adagrad之后，学习率这样更改

其中

具体操作如下

化简后的Adagrad公式

这里有个矛盾的地方，最终得出的Adagrad公式，从一项看是梯度越大，学习率变化越大，从另一项看结果相反

直观解释这么做的原因
学习率可能变化是很大的，给人很大反差，除以过去的方均根可以平和掉这个反差
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更科学的解释：修改参数的步伐（当前点和最低点的距离）最好正好是那个微分的整数倍，但这只在只考虑一个参数时成立，如果有多个参数呢？那个bset step则需要将二次微分(derivative)考虑进来

再回头看Adagrad公式，分号下面的方均根就是模拟了二次微分。

2. Stochastic Gradient Descent

下面介绍一个改进的参数更新方法——Stochastic Gradient Descent，直译是随机梯度下降
该方法在原梯度下降的基础上做的改进是，原先的梯度下降损失函数是所有样本的总和，现在只随机取第n个样本
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也就是之前是看完所有样本再更新参数，现在遇到一个样本更新一次参数，如下图所示

3. Feature Scaling

直译是特征缩放，做什么事呢？希望不同特征的分布差不多，如下图，从左图转化到右图是我们要做的
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为什么要这样做？
如下图所示，当输入的x1是1，2……而x2是100，200……那么w1对Loss函数的影响显然比w2对Loss函数的影响小得多，如下左图所示，如果对x2进行缩小，则可以使得w1和w2对Loss函数的影响差不多，如下右图所示
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对于左右两图，左边想更新参数不用Adagrad公式就会很困难，右边的正圆形想更新参数则容易得多

具体方法：
常见方法
对每一维参数的第i个样本求均值m i和标准偏差sigma i
对第r维参数的第i个样本进行图中公式所示方法的更新
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类似正态分布标准化

梯度下降理论基础

每次我们得到的新的theta代入到Loss函数里面，都会比上一次小，对吗？
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答案是否定的。
假如现在给定一个theta的起点，圈定一个范围，可以找到这个范围内最小的Loss函数值对应的theta。

将theta更新，得到theta1

可以重复刚才过程。现在的问题是如何在那个确定的范围内找到Loss值最小时对应的theta？
就要从Taylor Series（泰勒级数）说起。
对于任一函数h(x)，只要在x0这一点是无穷次可微的。就可以把h(x)写成下图所示（其中k表示微分的次数）。当x无限接近x0，可以把（x-x0）的平方项，立方项，四次方项……忽略。将h(x)表示成下图最下方形式。
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例如，以h(x)=sin(x)为例，在x0=pi/4处，只考虑0次和1次，approximation(近似法)的效果还是很好的。（虽然整体看不像）

当然，泰勒级数可以有多个参数，有2个参数的如下所示

再回到梯度下降法，当刚刚圈定的范围（红圈）足够小，就可以运用泰勒级数，将损失函数L(theta)表示成下图最下行所示
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这样算损失函数的最小值对应的(theta1,theta2)就变得容易。其中s,u,v都是常数。

具体求法如下，我们要找的(delta-theta1,delta-theta2)是和(u,v)反方向，且长度等于圈定的radius（半径）的。

代入u,v，发现得到的就是最初的梯度下降的公式。
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但要记得的是，找到的红色圈的半径要足够小，而这个半径和学习率是成正比的。因此学习率要合适。
刚才只考虑到1次的级数，如果考虑的次数更高呢？会引入更复杂的运算，并没有梯度下降法合适。