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hung-yi lee_p10_分类/概率生成模型

编程日记 2024-09-13 03:30:00

文章目录

- 研究背景
- - 本节目的
  - 本节要使用的例子
- 研究过程
- - 把分类当成回归来算
  - 理想做法
  - 找到最佳函数的方法
- 研究成果运用
- - 运用过程
  - 结果
- 方法改进
- 模型总结
- 讨论
- - 为什么选择正态分布模型？
  - 关于后验概率的求法之化简与改进猜想
- 一张图总结

研究背景

本节目的

Classification:Probabilistic Generative Model(直译：分类：概率生成模型)
找到如下函数
在这里插入图片描述

本节要使用的例子

输入一个宝可梦，输出宝可梦的类别
在这里插入图片描述
如何将输入转化为数值，我们可以提取宝可梦的如下七个属性

研究过程

把分类当成回归来算

首先以二分类为例，用1代表种类1，-1代表种类2。由于回归的输出是一个数值，我们把接近1的值当成是1，把接近-1的值当成-1。
如下图所示
在这里插入图片描述
具体实施时，我们希望，当有如下图所示的样例分布时，红色点的(x1,x2)代入y=b+w1x1+w2x2时输出更接近-1，蓝色点更接近1，则中间那条分界线（绿线）就是b+w1x1+w2x2=0（图中标错了）,在它左上方的y值是小于0的，右下方是大于0的
在这里插入图片描述
但是如果分布是如下图所示呢？在Regression看来，更好的是紫色的那条线，但在Classification看来绿色的那条线才是更适用的。显然用回归的方法来做分类此时已经不合适

这还仅仅是二分类。如果是多分类呢，如果效仿下面的做法，那么Class2与Class3的关系是要比Class1与Class3的关系更近的。但实际未必如此，所以再次印证了用回归来做分类是不合适的。
在这里插入图片描述

理想做法

Function（Model）:希望f(x)内置一个g(x)，具体如下图所示，当然这个g(x)也要能训练出来的
在这里插入图片描述
损失函数的定义：统计f(x)与真实结果不相等的次数，delta在预测值与真实值不相等时为1，相等时为0

找到最佳函数的方法：Perceptron SVM(但今天先不讲)

找到最佳函数的方法

首先看下面这个例子，取出一个蓝色球，求它是从盒子1里面取出的概率
在这里插入图片描述
把盒子1和盒子2换成类别1和类别2，我们要计算x属于类别1的几率需要知道如下图所示4个数值。希望能从训练集把这4个数值估测出来。

这一整套想法就叫做Generative Model（生成模型）因为它能够生成某个x产生的几率。
在这里插入图片描述
首先来计算P(C1)和P(C2)。暂时先考虑water(水系)和normal(一般系)。并且把ID小于400的宝可梦当作是训练集，其余的当作测试集。
统计后发现ID小于400的宝可梦中有79只水系，61只一般系。则易算得P(C1)和P(C2)

接着看另外两个值的求法。从水系的神奇宝贝里面挑一只宝可梦是海龟的几率是多大？（这个海龟的ID不在前四百，即不在那79只当中）
首先明确每一只宝可梦都可以用向量来描述它的属性
在这里插入图片描述
把这个向量（vector）叫做特征（feature）

暂时先考虑7个当中的2个，防御力和特殊防御力。得到如下所示的图片，上面的每一个点代表一只宝可梦。

现在对于图中从未出现的点（那个海龟），怎么预测它是水系宝贝的概率？
假设选出的79个点满足Gaussian distribution(高斯分布，即正态分布)
在这里插入图片描述
如何理解高斯分布？
输入：向量
输出：该向量从分布当中被选出来的几率
这个函数的形状由mean mu和variance(矩阵) sigma决定的
同样mu和不同的sigma代表几率分布的最高点一样，分布不同

回到之前的问题，如何求一个新的点出现的概率。
在这里插入图片描述
假设我们已经得到分布的mean值mu和covariance值sigma。就可以把高斯分布的f(x)写出来，这样新的点的几率就可以求得。

现在问题转化为mean值mu和covariance值sigma怎样找到？
这里用到一个方法——maximum likelihood(极大似然)
注：似然（likelihood）这个词其实和概率（probability）是差不多的意思
但是在统计里面，似然函数和概率函数却是两个不同的概念。对于这个函数：
在这里插入图片描述
输入有两个：x表示某一个具体的数据；θ表示模型的参数。
如果θ是已知确定的，x是变量，这个函数叫做概率函数(probability function)，它描述对于不同的样本点x，其出现概率是多少。
如果x是已知确定的，θ是变量，这个函数叫做似然函数(likelihood function), 它描述对于不同的模型参数，出现x这个样本点的概率是多少。
最大似然法的核心是：既然一件事情已经发生了，我们就把它当作概率最大的。
具体可以参见知乎回答https://zhuanlan.zhihu.com/p/26614750
我们要用的似然函数如下(L取自likelihood)
在这里插入图片描述
其中

然后要做的事情是，穷举所有的mu和sigma，看哪个可以使得上面的式子的值最大，记作mu和sigma
比较直观的求法是

总结一下，最大似然法做的事是，输入一个高斯分布，输出mean值mu和covariance值sigma
在这里插入图片描述

研究成果运用

运用过程

现在假设我们已经得到了分类函数，即刚才想要的四个值都找到了。可以用它来求海龟是水系神奇宝贝的概率了（在式中是x属于C1的概率）。如果概率大于0.5，我们就认为这个宝贝是水系的。过程如下所示
在这里插入图片描述

结果

如下图所示，右上为训练集，红色区域认为是水系的宝可梦，可以看到蓝点较多，蓝色区域认为是一般系的宝可梦。将其运用到测试集上，如右下所示。准确率为47%。
在这里插入图片描述
但是机器学习厉害的地方在于不止可以处理二维数据，对于七维的数据一样可以算，但发现准确率仍然只有54%。

方法改进

比较常见的情况是，不同的类型可以共享同一个covariance矩阵。
作用：减少了模型的参数。
解释：如果每个类别的分布使用不同的sigma值，会造成模型的参数多，variance也就大，也就容易过拟合。
也就是，最大似然函数会改写成如下的形式，mu1和mu2与之前的求法相同，注意共同的sigma的求法使用原先的两个sigma乘权重求和
在这里插入图片描述
改进后的分类结果如下
发现分界线由曲转直，故也称这个模型为Linear Model
发现在七维环境下正确率上升到73%

模型总结

在这里插入图片描述

讨论

为什么选择正态分布模型？

概率分布的选择未必一定要是高斯分布。选择简单的模型，bias就大，variance就小；反之相反。
如果遇到两个属性组成的特征(二维)情况，可以采用伯努利分布。
如果假设所有维度都是独立的，可以采用朴素贝叶斯分类器。

关于后验概率的求法之化简与改进猜想

之前用来算后验概率的函数其实是z的sigmoid函数
在这里插入图片描述
接下来的问题是z应该如何求得

将上式化简

进一步化简和替换

但是注意到covariance的值 sigma是共用的

发现组成z的四项当中只有第一项是含有x的，我们将其记作w^T,后三项之和记作b

因而z的sigmoid函数可以简写为
在这里插入图片描述
也就是我们得到w和b的方法是通过N1 N2 mu1 mu2 sigma

为什么要舍近求远呢？为什么不直接求出w和b呢？这就是下一节逻辑回归要讲的内容。