【数论总结】-----励志写好一篇数论总结↖(^ω^)↗//正在施工...未完工

　　近期学了学数论，来写一波总结吧。

　　（1）排列组合，比较基础的东西了吧。//只写个概念吧,(逃：

　　概念：就是从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从m个不同元素中取出n(n≤m)个元素的所有组合的个数，叫做从m个不同元素中取出n个元素的组合数。//这应该都知道吧

　　公式：//博客园现在这个图片功能，额.......

　　组合恒等式：

　　 //不知道在博客园怎么弄公式，只好弄成图片上来了

　　补充：1.Catalan数列，数列前几项为1,2,5,14,52,132,429......，通项公式：//写个博客发现学会用word文档写公式了

通过Catalan数列我们可以解决①从平面内(1,1)走到(n,n)且不能经过y =x上方的点的路径数②计算有多少种长度为n的括号序列(合法)③每次可以将一个元素入栈或者栈顶元素出栈的方案数④不同节点的二叉树计数⑤有 2n 个人，他们身高互不相同，他们要成两排，每一排有 n 个人，并且满足每一排必须是从矮到高，且后一排的人要比前一排对应的人要高的方案数

　　　　　2.挡板法：这个方法也是在组合数学中别叫经典的方法吧。几种常见的情况如下：

　　　　①如果有10个糖(n)，一共有6个人(m)，每个人必须都有一个。对于这种问题问你有多少种方法分糖那么这个就是。

//解释：因为我们要将10个糖分给6个人，所以我们就是要将10个糖分为6份，而且每人至少一个。然后我们要将10个糖分成6份就需要5个挡板，然后我们将这10个糖放成一排，因为10个糖完全相同，所以怎么排都是一样的//也就是说只有一种排法。然后这10个糖会出现9个空档，然后我们就要在这9个空挡中放5个挡板了，又因为这5个挡板无差异，所以怎么放都是无顺序的。所以就有这么多情况喽，就是上面说的。//图片放上来就这么大了，我也很无奈......

　　　　②但是如果允许有人可以拿不到糖这种情况怎么办呢？？遇到这种情况时，我们可以先当成从每个盒子中拿出一个糖，这样我们现在就有n+m个糖了，然后在用①中的方法即可。这是为什么呢？因为我们先从每个盒子里面拿出一个糖，这样我们放的时候如果盒子里面只有一个糖，因为我们先从盒子里面借了一个糖，所以此盒子中是没有糖的。这样就可以处理好允许有空盒子的情况了//这应该很容易懂的吧。

　　　　③如果我们需要在每个盒子中至少再放入其编号个糖的话//其实放几个都无所谓，但为了好理解，所以就放入其编号个吧。(上面还是分糖，下面就往盒子里放糖了，没人看见吧(逃：)，出现这种情况的话怎么办呢？？//相信你已经有思路了吧。我们就和②一样，②是让有的盒子是空的。而现在我们就先往盒子里放入其编号-1个糖//因为挡板法是至少放一个糖，这我们不是又可以用①中的公式来求了吗。没错，就是这么简单↖(^ω^)↗。

　　　　3.鸽巢原理(抽屉原理)概说一下是什么吧：如果n+1个物体放进n个盒子，那么至少有一个盒子里包含两个或者更多的物体。//就这么多....鸽巢原理重要的就是这样思想。相信大家在高中之前就已经接触过这种思想了吧，我也就不多说什么了。

//在网上看到的一则鸽巢原理的故事：已知n+ 1个正整数，它们全都小于或等于2n，证明当中一定有两个数是互质的。匈牙利大数学家厄杜斯(PaulErdous,1913 - 1996) 向当年年仅11岁的波萨 (LouisPósa) 提出这个问题，而小波萨思考了不足半分钟便能给出正确的答案。波萨是这样考虑问题：取n个盒子，在第一个盒子我们放1和2，在第二个盒子我们放3和4，第三个盒子是放5和6，依此类推直到第n个盒子放2n-1和2n这两个数。如果我们在n个盒子里随意抽出n+1个数。我们马上看到一定有一个盒子是被抽空的。因此在这n+1个数中必有两个数是连续数，很明显的连续数是互质的。因此这问题就解决了！这就是利用了鸽巢原理的核心思想。

4.容斥原理：这个东西还是比较重要的吧。

　　　　①两个集合的容斥原理：如果要计数的事物有A,B两种，那么，先把A,B两个集合中的元素想加，发现在A和B中。A,B相交的这种情况被多算了，所以我们要减去。就像让我们求两个重叠矩形的面积一样。公式：A∪B=A+B-A∩B。

　　　　②三个集合的容斥原理：我们还是将这三个元素集合A,B,C的元素个数相加，然后我们可以容易的发现两两重合的部分被多加一次，三个重复的部分被多算了两次。就如下图：

灰色部分为两两重合的部分，最中间的深灰色为三个集合重复的地方

　　

　　　　

　　　　因此：我们可以很容易的看出来A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2(A∩B∩C)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  =A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

　　　　所以公式就是：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。//即为：三个圆内的-重合两次的-重合三次的。

　　　　然后我们就可以发现容斥原理就是要计算几个集合合并的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，以此类推。

　　　　所以我们就可以得出容斥原理的性质：集合S不具有性质的物体个数公共如下

//总说就是A的个数如果是计数则加如果是偶数就是减了。

　　例题：[HAOI2012]容易题，POJ3904水晶密码，8的倍数。

---------------------------------------------------补充的东西先就这么多了吧-----------------------------------------------

　　接下来我们说说组合数的计算吧。

　　①加法递推-----O(n²)

　　就是上面组合数恒等式的第二条

int C[1001][1001]//根据实际情况开数组
memset(C,0,sizeof(C))
for(int i=0;i<=n;i++)
{
    C[i][0]=1;
    for(int j=0;j<=i;j++)
        C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
}

　　②乘法递推-----O(n)

C[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)//K为摸数，n为第n行
{    
    C[i]=(C[i-1]*(n-i+1)/i)%K;
    C[i]%=K;
}

 　　组合数也差不多就这么多东西了吧，还有什么的话以后再补充好了。

　　（2）最大公约数(gcd),最小公倍数(lcm)

　　哇小学都学过的东西了吧，直接放定理也没有什么不妥是吧。//求最大公约数只需要用欧几里得算法（辗转相除法）

　　定理：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)(a>b且a%b!=0)

　　补充：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)(a>b且a%b!=0)证明

　　我们先设D=a%b ∴a=k*b+D (k∈N)  ∴ D=a-k*b  上面很显然对吧。所以我们再设r=gcd(a,b); 所以我们可以很显然的得到下面的几个结论r|a, r|b(这里r|a表示r可以被a整除)∴显然得r|a-k*b//因为a和b都可以整除r。∴r|D成立 ∴r|a%b也成立 所以呢我们可以发现r=gcd(b,a%b);所以gcd(a,b)=gcd(b,a%b);

int gcd(int a,int b)
{return b==0?a:gcd(b,a%b);}

　　当然最小公倍数与最大公约数的关系就是：lcm(a,b)=(a*b)/gcd(a,b)

　　既然有欧几里得算法那当然也有扩展欧几里得算法了。

　　（3）扩展欧几里得

　　　因为我们很显然的知道gcd(a,b)表示的是a和b的最大公因数，所以我们可以等到这样一个方程：gcd(a,b)=ax+by;我们也当然可以找到一组解x1,y1。可是我们怎么求呢？这时候就要用到扩展欧几里得了。

　　设a>b，所以①当b=0时，gcd(a,b)=a,所以显然可以得到x1=1,y1=0;

 ②当a>b>0时，因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，所以我们也很明显的可以讲方程转换为：bx2+(a%b)y2=gcd(b,a%b);所以我们又可以得到bx2+(a%b)y2=ax1+by1;我们得到这个方程是干什么的呢？肯定是有用的哇（这不是废话吗....）。然后我们又可以将这个方程化为ax1+by1=bx2+(a-[a/b]*b)y2;//这里的[]表示向下取整，就是[4.9]=4这个意思。所以ax1+by1=bx2+ay2-[a/b]*by2;然后我们就可以得到ax1+by1=ay2+b(x2-[a/b]*b);这样结果不是很明了了，x1=y2,y1=(x2-[a/b]*b)。我们可以看出x1和y1的值是基于y2和x2的，我们只需要递归求解就好了，因为在递归的时候一定会有一个b=0情况的解，所以递归可以结束了。

　　　　总的来说，扩展欧几里得就是用来求已知a,b,求x,y的一组解来满足ax+by=gcd(a,b);//解一定存在。具体就看下面代码吧

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
}

例题：bzoj 1477[青蛙的约会]，NOI2002[荒岛野人]

　　补充:扩展欧几里得也差不多就是这了，我们在这里补充一下分解质因数好不好哇。

（4）质因数

　　质因数这一个东西在数论中也占据着十分重要的地位，那么我们就来谈谈质因数。

　　分解质因数这个东西我们也就不必多说了吧，我们直接筛法求一下素数然后枚举就好了。

　　下面我们给出一些结论吧：

　　①//其中p1,p2....pk是n的质因数，也就是说每一个数都可以由这种形式表达出来

　　然后由①我们又可以得出n的所有因数的个数为(a1+1)(a2+1)...(ak+1).

　　然后我们还可以得出n的正约束和为：  

　　这也都是些结论吧。

　　然后我们看一下这个例题：求m!分解质因数后因子n的个数。这怎么搞呢？如果我们直接相乘的话会超过数据类型的范围的。那么，我们再看看,m!=1*2*3*....*(m-2)*(m-1)*m。这个谁都知道吧...因为我们要求m!分解质因数后因子n的个数，所以我们可以把m!的阶乘化为和n有关的。但这怎么联系上呢？我们想，如果m!里含有因子n，那么m!的阶乘就一定可以表示成m!=(n*2n*3n*...*kn)*other//other表示不含因子n的数的乘积，这应该很容易懂的吧。然后我们又可以把这个式子化为：n^k*(1*2*3...*k)*other=n^k*k!*other。//这也很容易懂吧。又因为kn<=m，所以k的最大值就为m/n。我们从上面的表达式中还可以提取出k个n，我们每次循环除就好了，时间复杂度很可观。

　　具体代码如下：

while(m)
{    
    sum+=m/n;
    m=m/n;
}

是不是在疑惑代码为什么如此之短，没错就是这么短。//好好理解下。

　　（5）欧拉函数

　　//欧拉函数在数论中也是很常用的一个部分.....

　　（1）定义：欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目，用φ(n)表示欧拉函数的值。

　　　　　　计算方法为：φ(x)=x(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*...(1-1/pn)

　　（2）证明：

　　　①：当n=p^k时(p为质数)：

　　　　因为对于一个素数p，φ(p)=p-1，又因为n=p^k。所以φ(n)=p^k-p^(k-1)，因为除了p的倍数以外，其它的数全和n互质//解释因为小于p^k的正整数个数为p^k-1个，其中和p^k不互质的正整数有{p*1，p*2，p*3....p*(p^(k-1)-1)}一共p^(k-1)-1个，所以φ(n)=p^k-p^(k-1)。

　　   ②：p*q的欧拉函数

　　　　我们假设两个数p,q互质，以为欧拉函数是积性函数，所以φ(p*q)=φ(p)*φ(q);//记住是积性函数就好了......

　　　③：对于任意正整数的欧拉函数

　　　　因为我们知道，任意一个正整数n都可以表示为其素因子的乘积//前面质因数分解哪里提过。

            //直接搬过来

　　　　所以很显然我们可以根据上面两条得出

　       　//pi就是n的素音字累乘上面的n为一共有多少个素因子

　　　④欧拉函数的递推性质，根据这个我们可以在O(n)的时间内求出欧拉函数

　　　　若(n%x==0&&(n/x)%x==0)则有φ(n)=φ(n/x)*x；
　　　　若(n%x==0&&(n/x)%x!=0)则有φ(n)=φ(n/x)*(x-1)。

　　　　代码如下：

void Euler(int x)
{
    memset(check,0,sizeof(check));
    int l=0;
    for(int i=2;i<=x;i++)
    {
        if(!check[i])
        {
            prime[++l]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=l&&prime[j]*i<=x;j++)
        {
            check[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j])
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            else
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
        }
    }
}

//前两天考试，没有往下写，未完待续...