当一个序列满足对于任意的前 项和都满足不小于_时间序列分析第01讲--平稳序列（基本概念，线性平稳序列）...
第一章 平稳序列
1.1平稳序列基本概念
无论是从原序列中把趋势项去掉得到的随机波动项，还是用随机差分后得到残差序列，都会存在一种现象：随机项会沿着水平值波动，并且前后之间具有相关性，与独立序列不同。
一、定义
定义1.1 如果时间序列
- 对任何
----等于没说，也就是随机变量性质稍微好点
- 对任何
----这个也不本质，取0也可以
- 对任何关键！
---
那么我们称
例1.1 平稳序列的线性变换依然是平稳序列
那么
可见
如果取
例1.2 调和平稳序列
设
是平稳序列.
证明：验证期望为常数，协方差只与时间间隔有关
说明：计算期望时用到三角函数在一个周期内的积分为0。计算协方差时，用到积化和差公式得到一个常数加一个三角函数，然后用三角函数在一个周期内积分为0。
二、自协方差函数性质
自协方差函数有以下三条性质：
- 对称性：
- 非负定性：
对任意
- 有界性：
对称性证明：用到了协方差的对称性
非负定性证明：
任取一个向量
对于第一个等号，可以看做是一个求和，其中求和的每一项就是分别从三部分中取一个然后相乘，即
有界性证明：运用Schwarz不等式
反过来，只要实数列满足这三个条件，就可以构造随机序列，使得该序列的协方差函数为该给定的实数列！
三、非负定性、随机变量的线性相关
首先根据非负定性的证明有
进而如果
此时称
更进一步，如果
四、自相关系数
定义1.2 设平稳序列
我们把这样标准化后序列的自协方差函数成为
五、白噪声、白噪声模拟
定义1.3 设平稳序列
则称
- 如果序列是独立的，称为独立白噪声
- 如果序列均值为0，称为零均值白噪声
- 如果序列均值为0方差为1，称为标准白噪声
- 如果正态白噪声.
服从正态分布，称为
六、正交和不相关性
如果
对于两个平稳序列
- 不相关：
- 正交：
之所以这样定义正交，是从几何角度来看。事实上对于所有二阶矩存在的随机变量，构成一个Hilbert空间，且Hilbert空间上内积就用数学期望来定义.
两个平稳序列之和是否还是平稳序列？下面这个定理给出了说明：
定理1.1 对于平稳序列
证明：
二阶矩有界：
均值常数：
当正交的时候：
当不相关的时候：
1.2线性平稳序列和线性滤波
几种常用且重要的平稳序列
- 有限运动平均
- 线性平稳序列
- 时间序列的线性滤波
一、有限运动平均
设
是白噪声
- MA的平稳性
验证一下数学期望和自协方差函数的条件:
数学期望：
自协方差函数：
其中第3个等号利用白噪声的不相关性，只有
二、线性平稳序列
将有限运动平均改为无穷项会发生什么？定义零均值白噪声的无穷滑动平均为
当满足
当求和项数无限时，不能够轻易将期望与求和交换，那么如何证明平稳？
定理2.1 （单调收敛定理）如果非负随机变量序列单调不减
利用这个定理，我们令
因此利用单调收敛定理得到
但是无穷滑动平均的定义中没有绝对值，怎么办？
定理2.2 （控制收敛定理）如果随机变量序列
首先考察期望。由上面的讨论，我们得到在绝对值情形下的数学期望为
我们取
然后还要考察
至于为什么能交换，也就是单调收敛定理与控制收敛定理的应用，具体来说就是先考察各项都取绝对值后的期望是否存在，在这里就是
其期望可计算如下：
其中第一个等号运用单调收敛定理，即对于正项级数的期望和求和可交换，不等号运用了Schwarz不等式，最后一个小于号利用了绝对可和性。
最后说明一下二阶矩有界。这里也是Schwarz不等式的运用，如下：
注1：绝对可和条件下，如上定义的自协方差函数是绝对收敛的。
证明：
这说明了自协方差函数当
单边线性序列：只对非负部分求和，即
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