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pcl求平面法向量_线性代数6——平面方程与矩阵

编程日记 2024-10-23 22:00:00

线性方程的几何意义

二元线性方程

　　该方程是一个二元线性方程组，包含两个方程，每个方程是一条直线，两条直线的交点就是该方程有唯一解，这就是二元线性方程的几何意义。

平面方程

空间内不在同一直线上的三点构成一个平面，平面方程可表示为

。平面方程也称为三元线性方程。

　　方程x + 4y + z = 8，在xyz三个坐标轴上的截距分别是(8,0,0),(0,2,0),(0,0,8)，下图是该函数在坐标轴上的示意图：

　　需要注意的是，平面是无限延伸的。

根据法向量求平面方程

现在需要找到一个过原点的平面，它有一个过原点的法向量是

。

　　如上图所示，P<x, y, z>是所求平面上的向量，法向量N⊥OP，因此：

　　这就是平面方程。
　　再看一个稍微不同点的问题，一个平面的法向量是N<1, 5, 10>，该平面经过

，求该平面方程。

　　由于拥有同一个法向量，所以这是与上一个平面平行的平面：

　　平面上的任意点

，向量

：

　　上面两个方程唯一的不同点就是

中的

，其它参数对应了穿过原点的法向量，实际上，d两个平行平面的距离。根据这个特点，可以很快求得第二个平面方程：

示例

向量V = <1, 2, -1>与平面x + y + 3z = 5的关系？

平面的法向量N = <1, 1, 3>，容易看出，V·N = 1×1 + 2×1 + (-1)×3 = 0，V⊥N，向量V与平面平行。需要注意的是，向量不是点（实际上向量有无数点），<1, 2, -1>不同于(1, 2, -1)，在没有特殊说明的情况下，可以认为向量从原点出发。如果向量V从原点出发，V经过点(1, 2, -1)，但该点并不在平面上。

平面方程组的解

三元线性方程组

，设三个平面分别是

，该方程组有唯一解，即这三个平面相交于一点，三个方程两两相交于一条直线：

　　平面方程组也可能出现无解的情况，一种典型的情况是三个平面平行。如果

，即二者相交于一条直线，根据

的位置，平面方程组可能有唯一解，无解，或有无数解。下面是无数解和无解的情况：

无数解和无解

总结一下，如果

相交，它们的交线：

与
相交于一点，则方程组有唯一解；
在
上，则方程组有无数解；
与
平行，且不在
上，方程组无解。

当然，如果

中一个相同，则结集是一个平面。

点到平面的距离

平面方程是ax + by + cz = d，平面外一点

，求该点到平面的距离。

PQ垂直于平面，现在要求PQ的长度，但是并不知道Q点的具体数值。

设

是平面上的一点，现在将问题转换为向量：

向量QP是P’ P在法向量N方向上的分量，也就是P’ P与N相同方向的单位向量的点积。（可参考《线性代数3——向量2（点积）》）设距离为D，则：

求解线性方程

当然可以使用初中的代数知识求解线性方程组，这里主要讨论如何用矩阵求解。

消元法

首先将方程组以矩阵的方式表示：

该矩阵称为增广矩阵。由于是线性方程组，可以省略未知数：

现在可以对其进行消元，首先消去x，方法与普通代数法类似：

用同样的方法对y消元：

矩阵第三行对应

　　最终可解得

可以看出，消元法本质上与初中的代数法没有区别，只是换了一种较为简单的表现形式，对于多元线性方程组，其消元过程十分繁琐。

矩阵法

　　这里需要使用列向量的概念，列向量是一个 n×1 的矩阵，即矩阵由一个含有n个元素的列所组成：列向量的转置是一个行向量，反之亦然。

将上面的方程组用矩阵和向量表示：

　　实际上可看作 x = b/A，有点意思了，可以通过一个除法运算直接求得方程的解。

　　解得

　　对于多元线性方程组，使用矩阵法求解比消元法简单的多。

　　我们用python求解消元法中的方程组

import numpy as np
a = np.matrix([[-1,2,-1],[3,-7,-2],[2,2,1]])
c = np.matrix([[9,-20,2]]).T
result = a**-1 * c
print(result)

无解的方程组

线性方程组在用矩阵向量法转换后，如果矩阵A是奇异矩阵，

没有定义，该方程组无解。对于二元线性方程组来说，其几何意义是两条平行的直线。

　　如

，该方程组无解，

是奇异矩阵。下图是该方程组在坐标轴上的图像：

示例

示例1　　求下面的平面方程：
　　a) 已知平面的法向量N = <1, 2, 3>，平面过点(1, 0, -1)
　　b) 平面过原点且平行于两个向量A = <1, 0, -1>和B = <-1, 2, 0>
　　c) 平面过点P1(1, 2, 0), P2(3, 1, 1), P3(2, 0, 0)
　　d) 平面与a中的平面平行，且经过点(1 , 2, 3)　　a.
　　平面方程

，

，所以平面方程是

　　将点(1, 0, -1) 代入平面方程，

　　平面方程是

　　b.
　　平面方程ax + by + cz = d
　　∵A，B过原点，且与平面平行，并且平面过原点
　　∴A，B在平面上，d = 0
　　已知平面上两个个向量从同一点出发的向量，计算平面的法向量：

　　平面方程是 2x + y + 2z = 0
　　根据叉积计算法向量可参考《线性代数4——向量3（叉积）》　　c.

　　平面方程2x + y – 3z = d，取任意点代入，d = 4。平面方程是2x + y – 3z = 4　　d．

a的平面是x + 2y + 3z = -2，由于该平面平行于a，所以该平面是x + 2y + 3z = d。
　　将点(1 , 2, 3)代入，1 + 2×2 + 3×3 = 14 = d
　　平面方程是x + 2y + 3z = 14

示例2

求原点到平面2x + y -2z = 4的距离。

总结

二元线性方程组的几何意义是平面上的两条直线，其解是二者的交点
三元线性方程组的几何意义是三维空间上的三个平面，可能存在唯一解、无数解或无解
平面方程用ax + by + cz = d，点到平面的距离

4.如果线性方程组对应的矩阵是奇异矩阵，则该方程组无解

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