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证明实对称正定矩阵A的Gauss-Seidel法必定收敛（完整过程）

编程日记 2024-10-20 19:00:00

Solution:

$\quad$ 将 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 设为 $D-L-L^T$ ,其中 $D$ 是 $A$ 的所有主对角元素构成对角矩阵， $- L$ 是 $A$ 的所有主对角线以下的元素构成的严格下三角矩阵。

$\quad$ 此时 $G a u s s - S e i d e l$ 法的迭代矩阵为 $D-L)^{-1}L^T$ ，设其特征值为 $λ\lambda$ ，则有 $(D−L)−1LTx=λx(D-L)^{-1}L^Tx=\lambda x$ ，即 $LTx=λ(D−L)xL^Tx=\lambda (D-L)x$ ，两边同乘 $x^T$ ,有 $xTLTx=λxT(D−L)xx^TL^Tx=\lambda x^T(D-L)x$ ，设 $x^TL^Tx=p-qi$ ，两边取转置有 $xLx^T=p+qi$ 。

$\quad$ 于是 $x^TAx=x^T(D-L-L^T)x=x^TDx-x^T(L+L^T)x=x^TDx-2p$ 。

$\quad$ $A$ 的特征值 $λ=xTLTxxT(D−L)x=p−qixTDx−xTLx=p−qixTDx−p−qi\lambda=\frac{x^TL^Tx}{x^T(D-L)x}=\frac{p-qi}{x^TDx-x^TLx}=\frac{p-qi}{x^TDx-p-qi}$ ，由于 $D$ 是正定矩阵，所以有 $∣λ∣2=λ⋅λˉ=p2+q2(xTDx−p)2+q2|\lambda|^2=\lambda\cdot\bar{\lambda}=\frac{p^2+q^2}{(x^TDx-p)^2+q^2}$ 。

$\quad$ 又因为 $A$ 是正定矩阵，所以 $xTAx=xTDx−2p>0x^TAx=x^TDx-2p\gt0$ ，即 $xTDx−p>px^TDx-p\gt p$ 。

$\quad$ 所以 $∣λ∣2=p2+q2(xTDx−p)2+q2<p2+q2p2+q2=1|\lambda|^2=\frac{p^2+q^2}{(x^TDx-p)^2+q^2}\lt\frac{p^2+q^2}{p^2+q^2}=1$ ， $λ<1\lambda<1$ 。

$\quad$ 谱半径 $ρ=max1≤i≤nλ<1\rho=max_{1\le i\le n}{\lambda}\lt1$ ， $G a u s s - S e i d e l$ 法收敛。

https://www.dkcj.cn/info/23907.html

证明实对称正定矩阵A的Gauss-Seidel法必定收敛（完整过程）

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