蚁群优化算法

一．概述

生物学家发现，自然界中的蚁群觅食是一种群体性行为，并非单只蚂蚁自行寻找食物源。蚂蚁在寻找食物源时，会在其经过的路径上释放一种信息素，并能够感知其它蚂蚁释放的信息素。信息素浓度的大小表征到食物源路径的远近，信息素浓度越高，表示对应的路径距离越短。通常，蚂蚁会以较大的概率优先选择信息素浓度较高的路径，并释放一定量的信息素，以增强该条路径上的信息素浓度，这样会形成一个正反馈。最终，蚂蚁能够找到一条从巢穴到食物源的最佳路径，即最短距离。值得一提的是，生物学家同时发现，路径上的信息素浓度会随着时间的推进而逐渐衰减。

20世纪90年代初，意大利学者M.Dorigo等人提出了模拟自然界蚂蚁群体觅食行为的蚁群算法。其基本思想是：用蚂蚁的行走路径表示待优化问题的可行解，整个蚂蚁群体的所有路径构成待优化问题的解空间。路径较短的蚂蚁释放的信息素量较多，随着时间的推进，较短的路径上积累的信息素浓度逐渐增高，选择该路径上的蚂蚁个数也越来越多。最终，整个蚂蚁会在正反馈的作用下集中到最佳的路径上，此时对应的便是待优化问题的最优解。

二．蚁群算法解决TSP问题

1. 算法原理

M.Dorigo等人最早将蚁群算法用于解决旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP），并取得了较好的实验结果。设整个蚂蚁群体中蚂蚁的数量为 $m$，城市的数量为$n$，城市$i$与城市$j$之间的距离为$d_{ij}(i,j=1,2,\cdots ,n)$，$t$时刻城市$i$与城市$j$连接路径上的信息素浓度为${\tau }_{ij}(t)$。初始时刻，各个城市间连接路径上的信息素浓度相同，不妨设${\tau }_{ij}(0)={\tau }_0$。

蚂蚁$k(k=1,2,\cdots ,m)$根据各个城市间连接路径上的信息素浓度决定下一个访问城市，设$P_{ij}^k(t)$表示$t$时刻蚂蚁$k$从城市$i$转移到城市$j$的转移概率，其公式为：

$$P_{ij}^k=\{\begin{array}{l}\frac{[{\tau }_{ij}(t){]}^{\alpha }\times [{\eta }_{ij}(t){]}^{\beta }}{{\sum }_{s\in allo{w}_k}[{\tau }_{is}(t){]}^{\alpha }\times [{\eta }_{is}(t){]}^{\beta }},s\in allo{w}_k\\ 0,s\notin allo{w}_k\end{array}$$

其中：${\eta }_{ij}(t)=\frac{1}{d_{ij}}$为启发函数，表示蚂蚁从城市$i$转移到城市$j$的期望程度；$allo{w}_k(k=1,2,\cdots ,m)$为蚂蚁$k$待访问城市的集合，开始时，$allo{w}_k$中有$(n-1)$个元素，即包括除了蚂蚁$k$出发城市的所有其它城市，随着时间的推进，$allo{w}_k$中的元素不断减少，直至为空，即表示所有的城市均访问完毕；$\alpha$为信息素重要程度因子，其值越大，表示信息素的浓度在转移中起的作用越大；$\beta$为启发函数重要程度因子，其值越大，表示启发函数在转移中的作用越大，即蚂蚁会以较大的概率转移到距离短的城市。当$\alpha =0$时，算法就是传统的贪心算法，而当$\beta =0$时，就成了纯粹的正反馈的启发式算法。经过$n$个时刻，蚂蚁可以走完所有的城市，完成一次循环，每只蚂蚁所走过的路径就是一个解。

由于蚂蚁释放信息素的同时，各个城市间连接路径上的信息素逐渐消失，设参数$\rho (0<\rho <1)$表示信息素的挥发程度。因此，当所有蚂蚁完成一次循环后，各个城市间连接路径上的信息素浓度需进行实时更新，即

$$\{\begin{array}{l}{\tau }_{ij}(t+1)=(1-\rho ){\tau }_{ij}(t)+\Delta {\tau }_{ij}\\ \Delta {\tau }_{ij}={\sum }_{k=1}^m\Delta {\tau }_{ij}^k\end{array},0<\rho <1$$

其中，$\Delta {\tau }_{ij}^k$表示第$k$只蚂蚁在城市$i$与城市$j$连接路径上释放的信息素浓度；$\Delta {\tau }_{ij}$表示所有蚂蚁在城市$i$与城市$j$连接路径上释放的信息素浓度之和。

针对蚂蚁释放信息素问题，M.Dorigo等人曾给出3种不同的模型，分别称之为Ant Cycle System、Ant Quantity System和Ant Density System，其计算公式如下：

（1）Ant Cycle System模型

$$\Delta {\tau }_{ij}^k=\{\begin{array}{l}\frac{Q}{L_k},第k只蚂蚁从城市i访问城市j\\ 0，其它\end{array}$$

其中，$Q$为常数，表示蚂蚁循环一次所释放的信息素总量；$L_k$为第$k$只蚂蚁经过路径的长度。

（2）Ant Quantity System

$$\Delta {\tau }_{ij}^k=\{\begin{array}{l}\frac{Q}{d_{ij}},第k只蚂蚁从城市i访问城市j\\ 0，其它\end{array}$$

（3）Ant Density System

$$\Delta {\tau }_{ij}^k=\{\begin{array}{l}Q,第k只蚂蚁从城市i访问城市j\\ 0，其它\end{array}$$

上述3种模型中，Ant Cycle System模型利用蚂蚁经过路径的整体信息（经过路径的总长）计算释放的信息素浓度；Ant Quantity System模型利用蚂蚁经过路径的局部信息（经过各个城市间的距离）计算释放的信息素浓度；Ant Density System模型更为简单地将信息素释放的浓度取为恒值，并没有考虑不同蚂蚁经过路径长度的影响。因此，一般选用Ant Cycle System模型计算释放的信息素浓度，即蚂蚁经过的路径越短，释放的信息素浓度越高。

2. 算法步骤

步骤1：初始化参数

在计算之初，需要对相关参数进行初始化，如蚁群规模（蚂蚁数量）$m$、信息素重要程度因子$\alpha$、启发函数重要程度因子$\beta$、信息素挥发程度因子$\rho$、信息素释放总量$Q$、最大迭代次数$iter\_max$。

注：在初始化之前需要根据城市位置坐标，计算两两城市间的相互距离，从而得到对称的距离矩阵。由于启发函数为${\eta }_{ij}(t)=\frac{1}{d_{ij}}$，为了保证分母不为零，需要将对角线上的元素零，修正为一个非常小的正数（如$10^{-4}$或$10^{-5}$等）。

步骤2：构建解空间

将各个蚂蚁随机地置于不同出发点，对每个蚂蚁$k(k=1,2,\cdots ,m)$，按照转移概率计算公式，确定其下一个待访问的城市，直到所有蚂蚁访问完所有的城市，即构造完一组路径。

步骤3：更新信息素

计算各个蚂蚁经过的路径长度$L_k(k=1,2,\cdots ,m)$，根据信息素迭代公式对各个城市路径上的信息素浓度进行更新。同时，记录当前迭代次数中的最优解（最短路径）。

步骤4：判断是否终止

若达到最大迭代次数，则终止计算，输出最优解。否则，清空蚂蚁经过路径的记录表，并返回步骤2。

三. 利用蚁群算法求解旅行商问题

按照枚举法，我国 34 个直辖市、省会和自治区首府的巡回路径应有 34! 种。但是那种巡回路径最短呢，我们可以利用蚁群算法进行求解。

城市坐标如下表所示：

代码如下：

%% 清空环境变量
clear
clc
close all%% 导入数据
%表中34个城市的位置坐标保存在citys_data1.mat文件中，变量citys为34行2列的
%数据，第1列表示城市的横坐标，第2列表示城市的纵坐标。
load citys_data.mat%% 计算城市间相互距离
n = size(citys,1);
D = zeros(n,n);
for i = 1:nfor j = 1:nif i ~= jD(i,j) = sqrt(sum((citys(i,:) - citys(j,:)).^2));elseD(i,j) = 1e-4;endend    
end%% 初始化参数
m = 35;                              % 蚂蚁数量
alpha = 1;                           % 信息素重要程度因子
beta = 5;                            % 启发函数重要程度因子
rho = 0.1;                           % 信息素挥发因子
Q = 1;                               % 常系数
Eta = 1./D;                          % 启发函数
Tau = ones(n,n);                     % 信息素矩阵
Table = zeros(m,n);                  % 路径记录表
iter = 1;                            % 迭代次数初值
iter_max = 200;                      % 最大迭代次数 
Route_best = zeros(iter_max,n);      % 各代最佳路径       
Length_best = zeros(iter_max,1);     % 各代最佳路径的长度  
Length_ave = zeros(iter_max,1);      % 各代路径的平均长度  %% 迭代寻找最佳路径
while iter <= iter_max% 随机产生各个蚂蚁的起点城市start = zeros(m,1);for i = 1:mtemp = randperm(n);start(i) = temp(1);endTable(:,1) = start; % 构建解空间citys_index = 1:n;% 逐个蚂蚁路径选择for i = 1:m% 逐个城市路径选择for j = 2:ntabu = Table(i,1:(j - 1));         % 已访问的城市集合(禁忌表)allow_index = ~ismember(citys_index,tabu);allow = citys_index(allow_index);  % 待访问的城市集合P = allow;% 计算城市间转移概率for k = 1:length(allow)P(k) = Tau(tabu(end),allow(k))^alpha ...* Eta(tabu(end),allow(k))^beta;endP = P/sum(P);% 轮盘赌法选择下一个访问城市Pc = cumsum(P);     target_index = find(Pc >= rand); target = allow(target_index(1));Table(i,j) = target;endend% 计算各个蚂蚁的路径距离Length = zeros(m,1);for i = 1:mRoute = Table(i,:);for j = 1:(n - 1)Length(i) = Length(i) + D(Route(j),Route(j + 1));endLength(i) = Length(i) + D(Route(n),Route(1));end% 计算最短路径距离及平均距离if iter == 1[min_Length,min_index] = min(Length);Length_best(iter) = min_Length;  Length_ave(iter) = mean(Length);Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);else[min_Length,min_index] = min(Length);Length_best(iter) = min(Length_best(iter - 1),min_Length);Length_ave(iter) = mean(Length);if Length_best(iter) == min_LengthRoute_best(iter,:) = Table(min_index,:);elseRoute_best(iter,:) = Route_best((iter-1),:);endend% 更新信息素Delta_Tau = zeros(n,n);% 逐个蚂蚁计算for i = 1:m% 逐个城市计算for j = 1:(n - 1)Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) = ...Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) + Q/Length(i);endDelta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) = ...Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) + Q/Length(i);endTau = (1-rho) * Tau + Delta_Tau;% 迭代次数加1，清空路径记录表iter = iter + 1;Table = zeros(m,n);
end%% 结果显示
[Shortest_Length,index] = min(Length_best);
Shortest_Route = Route_best(index,:);
disp(['最短距离:' num2str(Shortest_Length)]);
disp(['最短路径:' num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]);%% 绘图
figure(1)
plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...[citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-');
grid on
for i = 1:size(citys,1)text(citys(i,1),citys(i,2),['   ' num2str(i)]);
end
text(citys(Shortest_Route(1),1),citys(Shortest_Route(1),2),'       起点');
text(citys(Shortest_Route(end),1),...citys(Shortest_Route(end),2),'       终点');
xlabel('城市位置横坐标')
ylabel('城市位置纵坐标')
title(['蚁群算法优化路径(最短距离:' num2str(Shortest_Length) ')'])
figure(2)
plot(1:iter_max,Length_best,'b',1:iter_max,Length_ave,'r:')
legend('最短距离','平均距离')
xlabel('迭代次数')
ylabel('距离')
title('各代最短距离与平均距离对比')

结果分析：

从上图中可以清晰地看到，自起点出发，每个城市访问一次，遍历所有城市后，返回起点。寻找到的最短距离为16407.8008公里。最短路径为15，28，7，8，10，11，12，1，2，13，14，29，17，16，19，18，24，23，22，20，3，21，26，33，34，25，27，9，31，32，4，30，5，6，15。

各代的最短距离与平均距离如上图所示，从图中不难发现，随着迭代次数的增加，最短距离与平均距离均呈现不断下降的趋势。当迭代次数大于116时，最短距离已不再变化，表示已经寻找到最佳路径。

四. 练习

张三学习了蚁群算法之后特别高兴，他定义了一个特别的图，希望找到图中的最短路径。

张三的图由 2021 个结点组成，依次编号 1 至 2021。

对于两个不同的结点 $a$，$b$，如果 $a$ 和 $b$ 的差的绝对值大于 21，则两个结点之间没有边相连；如果 $a$ 和 $b$ 的差的绝对值小于等于 21，则两个点之间有一条 长度为 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数的无向边相连。

例如：结点 1 和结点 23 之间没有边相连；结点 3 和结点 24 之间有一条无向边，长度为 24；结点 15 和结点 25 之间有一条无向边，长度为 75。

利用蚁群算法确定最短的巡回路径，以及从结点 1 到结点 2021 之间的最短路径长度是多少。