【算法】弗洛伊德（Floyd）算法

这个算法主要要弄懂三个循环的顺序关系。

弗洛伊德（Floyd）算法过程：
１、用D[v][w]记录每一对顶点的最短距离。
２、依次扫描每一个点，并以其为基点再遍历所有每一对顶点D[][]的值，看看是否可用过该基点让这对顶点间的距离更小。

算法理解：

最短距离有三种情况：
１、两点的直达距离最短。（如下图<v,x>）
２、两点间只通过一个中间点而距离最短。（图<v,u>）
３、两点间用通过两各以上的顶点而距离最短。（图<v,w>）
对于第一种情况：在初始化的时候就已经找出来了且以后也不会更改到。
对于第二种情况：弗洛伊德算法的基本操作就是对于每一对顶点，遍历所有其它顶点，看看可否通过这一个顶点让这对顶点距离更短，也就是遍历了图中所有的三角形（算法中对同一个三角形扫描了九次，原则上只用扫描三次即可，但要加入判断，效率更低）。
对于第三种情况：如下图的五边形，可先找一点（比如x，使<v,u>=2），就变成了四边形问题，再找一点（比如y,使<u,w& gt;=2），可变成三角形问题了（v,u,w），也就变成第二种情况了，由此对于n边形也可以一步步转化成四边形三角形问题。（这里面不用担心哪个点要先找哪个点要后找，因为找了任一个点都可以使其变成（n－1）边形的问题）。

结合代码 并参照上图所示 我们来模拟执行下 这样才能加深理解：
第一关键步骤：当k执行到x，i=v,j=u时，计算出v到u的最短路径要通过x，此时v、u联通了。
第二关键步骤：当k执行到u，i=v，j=y，此时计算出v到y的最短路径的最短路径为v到u，再到y(此时v到u的最短路径上一步我们已经计算过来，直接利用上步结果)。
第三关键步骤：当k执行到y时，i=v，j=w，此时计算出最短路径为v到y(此时v到y的最短路径长在第二步我们已经计算出来了)，再从y到w。

依次扫描每一点(k)，并以该点作为中介点，计算出通过k点的其他任意两点(i,j)的最短距离，这就是floyd算法的精髓！同时也解释了为什么k点这个中介点要放在最外层循环的原因.

对于这个算法,网上有一个证明的版本：

floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在），floyd算法加入了这个概念  A^k(i,j)：表示从i到j中途不经过索引比k大的点的最短路径。

这个限制的重要之处在于，它将最短路径的概念做了限制，使得该限制有机会满足迭代关系，这个迭代关系就在于研究：假设A^k(i,j)已知，是否可以借此推导出A^k-1(i,j)。

假设我现在要得到A^k(i,j)，而此时A^k(i,j)已知，那么我可以分两种情况来看待问题：1. A^k(i,j)沿途经过点k；2. A^k(i,j)不经过点k。如果经过点k，那么很显然，A^k(i,j) = A^k-1(i,k) + A^k-1(k,j)，为什么是A^k-1呢？因为对(i,k)和(k,j)，由于k本身就是源点（或者说终点），加上我们求的是A^k(i,j)，所以满足不经过比k大的点的条件限制，且已经不会经过点k，故得出了A^k-1这个值。那么遇到第二种情况，A^k(i,j)不经过点k时，由于没有经过点k，所以根据概念，可以得出A^k(i,j)=A^k-1(i,j)。现在，我们确信有且只有这两种情况---不是经过点k，就是不经过点k，没有第三种情况了，条件很完整，那么是选择哪一个呢？很简单，求的是最短路径，当然是哪个最短，求取哪个，故得出式子：

A^k(i,j) = min( A^k-1(i,j), A^k-1(i,k) + A^k-1(k,j) )

现在已经得出了A^k(i,j) = A^k-1(i,k) + A^k-1(k,j) 这个递归式，但显然该递归还没有一个出口，也就是说，必须定义一个初始状态，事实上，这个初始状态取决于索引k是从0开始还是从1开始，上面的代码是C写的，是以0为开始索引，但一般描述算法似乎习惯用1做开始索引，如果是以1为开始索引，那么初始状态值应设置为A⁰了，A⁰(i,j)的含义不难理解，即从i到j的边的距离。也就是说，A⁰(i,j) = cost(i,j) 。由于存在i到j不存在边的情况，也就是说，在这种情况下，cost(i,j)无限大，故A⁰(i,j) = oo（当i到j无边时）

到这里，已经列出了求取A^k(i,j)的整个算法了，但是，最终的目标是求dist(i,j)，即i到j的最短路径，如何把A^k(i,j)转换为dist(i,j)？这个其实很简单，当k=n（n表示索引的个数）的时候，即是说，Aⁿ(i,j)=dist(i,j)。那是因为当k已经最大时，已经不存在索引比k大的点了，那这时候的Aⁿ(i,j)其实就已经是i到j的最短路径了。

从floyd算法中不难看出，要设计一个好的动态规划算法，首先需要研究是否能把目标进行重新诠释（这一步是最关键最富创造力的一步），转化为一个可以被分解的子目标，如果可以转化，就要想办法寻找数学等式使目标收敛为子目标，如果这一步可以实现了，还需要研究该递归收敛式的出口，即初始状态是否明确（这一步往往已经简单了）。