议题：二分查找树性能分析（Binary Search Tree Performance Analysis）
分析：
二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）是一颗典型的二叉树，同时任何节点的键值大于等于该节点左子树中的所有键值，小于等于该节点右子树中的所有键值，并且每个节点域中保存 一个记录以其为根节点的子树中所有节点个数的属性，这个属性可用于支持贪婪算法的实现；
二叉搜索树的建立是在树的底部添加新的元素，搜索即从根元素开始到达树底部的一条路径，插入和搜索相似（注意对重复键的处理），排序按照节点访问方式不同有前序、中序、后序三种；
二叉搜索树算法的运行时间取决于树的形状，最好情况下根节点与每个外部节点间有㏒N个节点，此时树完全平衡，最坏情况下搜索路径上有N个节点。由于创建二 叉搜索树的时候，第一个插入的元素总是作为根元素，所以元素插入的顺序决定树的形状。在随机情况下，极度平衡和极度不平衡的树都很少出现，所以这种情况下 二叉搜索树算法有着良好的运行情况；
所以平均情况下，N个随机生成的BST树种，一次搜索，插入大约需要1.39㏒N此比较。如果键值不是随机出现，则二叉搜索树退化为N个节点的链表，一次操作为线性O(N)运行时间；
使用BST树存储文件中每一个文本串，基于字符串的排序使得搜索变得容易；
BottomUp插入策略：按照前序策略遍历整个树结构，首先查看当前节点是否为NULL，然后与关键值比较查看是否为目标值，不是的话就分别针对左右子 树递归调用搜索算法，然后进入下一个结构，注意在递归调用之间的衔接是由返回一个节点来实现的，所以如果已经到达树底部，则返回一个新节点，这个节点正好 位于上一级的子树连接上，这样正好形成整个树结构；
TopDown插入策略：在BottomUp插入策略的基础上，将新插入的节点在递归回溯的时候逐层旋转，知道根节点的位置；使用基于递归插入操作和旋转 操作的策略可以使得最近插入的元素接近BST树的顶部，同时保持树的平衡性。这种插入方式称为从根部插入，实现策略：首先使用普通递归插入将在树底部找到 一个合适的位置插入新的节点，然后使用旋转操作将这个新加入的节点旋转到根节点处，不仅可以保持树的平衡，而且由于最近插入的项被使用的概率大，靠近根节 点则加速搜索效率；
旋转操作：BST树中从根部插入新节点：首要考虑的就是是否能够保持BST树的性质。现在使用基于旋转（Rotation）的转换策略，使得BST树保持原有性质。旋转实质上是交换根节点和一个孩子的角色，同时保持各节点的顺序
选择第Kth个值（最小或者最大）：利用Node节点中的count标记（此标记说明以当前节点为根节点的子树的所有节点数），可以快速查找给定的序列中 第Kth个最小或者最大值；当然前提是将给定的序列扩建成BST；从根节点开始，首先检查其左子树中节点个数，如果正好为K个则返回根节点本身，如果大于 K个节点，则对左子树递归调用算法，如果小于K个节点，则说明第K个最小键在根节点的右子树中，变成查找右子树中第K-t-1个最小键的项（t为左子树所 有节点，1为根节点自身）；
BST树的节点删除操作：被删除的节点可以有三种情况，没有子节点，有一个子节点，有两个子节点。第一种情况可直接删除；第二种情况需要临时存储子节点的 索引，并让被删除节点的父节点指向这个这个索引；第三种情况需要维护BST树的性质，所以一般性策略是选择右子树中最小的元素作为新的根节点（右子树中最 小的元素出现在最左边，所以它至多只有一个子节点，可容易删除），然而有时候也会选择左子树中的最大元素作为新的根节点（由于在左右子树中任意选择新的节 点作为新的根节点，所以可能造成BST树的不平衡）；
样例：
1 struct Node { 2 int value; 3 int count; 4 Node *left; 5 Node *right; 6 Node(int v, int c=1, Node* l=NULL, Node* r=NULL): 7 count(c), value(v), left(l), right(r) { 8 9 } 10 }; 11 /** 12 * 对root节点进行右旋转操作，也就是： 13 * 1. 让root原来的左孩子变成newRoot； 14 * 2. 让root变成newRoot的右子节点； 15 * 3. 让root原来的左孩子的的右子节点变成root的左子节点 16 * */ 17 Node* rightRotate(Node *root) { 18 Node *newRoot=root->left; 19 root->left=root->left->right; 20 newRoot->right=root; 21 return newRoot; 22 } 23 /** 24 * 对root节点进行左旋转操作，也就是： 25 * 1. 让root原来的右孩子变成newRoot； 26 * 2. 让root变成newRoot的左子节点； 27 * 3. 让root原来的右孩子的左子节点变成root的右子节点 28 * */ 29 Node* leftRotate(Node *root) { 30 Node *newRoot=root->right; 31 root->right=root->right->left; 32 newRoot->left=root; 33 return newRoot; 34 } 35 36 Node* binaryTreeSearch(Node *root, int target) { 37 38 if(root==NULL) 39 return NULL; 40 41 if(target>root->value) 42 return binaryTreeSearch(root->right, target); 43 else if(target<root->value) 44 return binaryTreeSearch(root->left, target); 45 else 46 return root; 47 } 48 49 Node* binaryTreeInsert(Node *root, int target) { 50 51 if(root==NULL) { 52 return new Node(target); 53 } 54 55 if(target>root->value) 56 root->right=binaryTreeInsert(root->right, target); 57 else if(target<root->value) 58 root->left=binaryTreeInsert(root->left, target); 59 60 return root; 61 } 62 /** 63 * 这样可以将新插入的元素旋转到为root； 64 * 不仅可以保持BST的平衡性，而且可以保证 65 * 新插入的元素的最大访问延迟； 66 * */ 67 Node* binaryTreeInsertTopDown(Node *root, int target) { 68 69 if(root==NULL) { 70 return new Node(target); 71 } 72 73 if(target>root->value) { 74 root->right=binaryTreeInsert(root->right, target); 75 root=leftRotate(root); 76 } 77 else if(target<root->value) { 78 root->left=binaryTreeInsert(root->left, target); 79 root=rightRotate(root); 80 } 81 82 return root; 83 } 84 85 Node* binaryTreeInsertWithCount(Node *root, int target) { 86 87 if(root==NULL) { 88 return new Node(target); 89 } 90 91 if(target>root->value) 92 root->right=binaryTreeInsert(root->right, target); 93 else if(target<root->value) 94 root->left=binaryTreeInsert(root->left, target); 95 root->count++; 96 return root; 97 } 98 /** 99 * 从一个序列中选定第K大的数字， 100 * */ 101 int binaryTreeSelect(Node *root, int k) { 102 /** 103 * 如果当前root为NULL，则选择失败 104 * */ 105 if(root==NULL) { 106 printf("\nfind nothing-_-\n"); 107 return -1; 108 } 109 /** 110 * 如果root的左子节点为NULL 111 * */ 112 if(root->left==NULL) { 113 if(k==1) 114 return root->value; 115 return binaryTreeSelect(root->right, k-1); 116 } 117 /** 118 * 如果root的左子节点不为NULL； 119 * 1. 如果K<=leftCount，则Kth个节点在左子树中 120 * 2. 如果K==leftCount+1，则kth个节点就是root自身 121 * 3. 如果k>leftCount+1，则Kth个节点就是右子树中的k-1-leftCount个节点 122 * */ 123 int leftCount=root->left->count; 124 if(leftCount>=k) 125 return binaryTreeSelect(root->left, k); 126 else if(leftCount+1==k) 127 return root->value; 128 else 129 return binaryTreeSelect(root->right, k-1-leftCount); 130 } 131 132 /** 133 * 将指定的元素target旋转到根节点 134 * */ 135 Node* binaryTreeRotate(Node *root, int target) { 136 137 if(root==NULL) 138 return NULL; 139 140 if(target>root->value) { 141 root->right=binaryTreeRotate(root->right,target); 142 leftRotate(root); 143 } else if(target<root->value) { 144 root->left=binaryTreeRotate(root->left,target); 145 rightRotate(root); 146 } 147 148 return root; 149 } 150 /** 151 * 此方法寻找root的左子树中具有最大value的子节点，也就是最‘左边’的子节点； 152 * */ 153 Node* subtreeRightMaximum(Node *root) { 154 Node *cur=root; 155 Node *pre; 156 while(cur!=NULL) { 157 pre=cur; 158 cur=cur->left; 159 } 160 return pre; 161 } 162 /** 163 * 此方法寻找root的右子树中具有最大value的子节点，也就是最‘左边’的子节点； 164 * */ 165 Node* subTreeLeftMaximum(Node* root) { 166 Node *cur=root; 167 Node *pre; 168 while(cur!=NULL) { 169 pre=cur; 170 cur=cur->right; 171 } 172 return pre; 173 } 174 175 Node* binaryTreeDelete(Node *root, int target) { 176 177 if(root==NULL) 178 return NULL; 179 Node *temp; 180 Node *newRoot; 181 /** 182 * 如果target比root->value大，则说明其位于root的 183 * 右子树，则继续递归 184 * 如果target比root->value小，则说明其位于root的 185 * 左子树，则继续递归 186 * 如果target等于root->value，则说明当前节点root 187 * 就是需要删除的节点，然后分三种情况讨论： 188 * 1. 如果root没有左右子节点 189 * 2. 如果root只有左节点或者只有右节点 190 * 3. 如果root德尔左右子节点都存在； 191 * */ 192 if(target>root->value) 193 root->right=binaryTreeDelete(root->right, target); 194 else if(target<root->value) 195 root->left=binaryTreeDelete(root->left, target); 196 else { 197 if(root->left==NULL && root->right) { 198 delete root; 199 return NULL; 200 } else if(root->left==NULL) { 201 temp=root->right; 202 delete root; 203 return temp; 204 } else if(root->right==NULL) { 205 temp=root->left; 206 delete root; 207 return temp; 208 } 209 /** 210 * 左右子节点都存在的情况，需要从左右子树中寻找下一个根节点； 211 * 这里是从右子树中选取最小的一个节点作为新的根节点； 212 * */ 213 newRoot=subtreeRightMaximum(root->right); 214 /** 215 * 由于右子树中最小的节点必然至多只有一个右节点，所以其删除操作 216 * 较为简单；然后将其的左右子树替换成当前的左右子树； 217 * */ 218 newRoot=binaryTreeDelete(root->right, newRoot->value); 219 newRoot->right=root->right; 220 newRoot->left=root->left; 221 delete root; 222 } 223 224 }
补充：
BST中搜索和插入的策略都是一样的，从传入的树节点开始，首先判断其是否为NULL，如果是的话对于搜索来讲表示失败，对于插入来讲表示需要插入新的节 点；如果不是NULL的话，对于搜索来讲比对是否为目标值，然后针对左右子树递归调用，对于插入来讲比对是否相同，表示树中已经有同样的节点算法说明；
BST树的构建和搜索也使用同样的遍历策略，所以插入与搜索一样容易实现；旋转可用于防止树变得不平衡，实现删除，合并和其他操作的辅助操作，BST树的 插入操作可以通过在树的底部插入新元素，然后使用左旋和右旋将新元素带到根节点处，防止树的不平衡状态。每次BST搜索命中的项也可以通过旋转带到根节点 处；
使用BST树进行选择算法最大的缺点就是计数域的出现导致额外的内存占用，树结构改变时需要额外的维护操作，同时我们可以对查找到的节点元素使用旋转操作，将其放到根节点的位置，下次使用的时候就能很快定位；
BST树的性能特征总结：
二叉搜索树算法的运行时间取决于树的形状，最好情况下树可能完全平衡，这样一次搜索过程就是一条路径的长度㏒N，最差情况下树退化为链表，这样一次搜索过程路径长度可能为N；
使用插入操作构建BST树的过程中，越是前面的节点对树最终形状的影响越是大，第一个元素就是树根，对于随机序列来讲，最坏情况出现的概率很小，所以平均情况能保持较好的运行时间，㏒N；
使用索引项来表示搜索节点，避免动态分配内存。当序列以随机序列插入时，生成完全平衡树的概率很小，但二叉树路径的长度和树的高度与BST的搜索开销联系 紧密。平均情况下一棵根据N个随机键生成的BST树中，搜索命中（插入和搜索失败）大约需要1.39㏒N次比较。最坏情况下，可能需要N此比较（也就是顺 序搜索）；
